《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教材分析 (1).docx

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能应用它们解决简单的实际问题.

难点：正确理解“完成一件事情”的含义;根据实际问题的特征,正确地区分“分类”或“分步”.

三、教科书编写意图及教学建议

两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据,而且其基本思想和方法贯穿本章内容的始终.事实上,从思想方法的角度看,运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”,然后各个击破，分类解决；运用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程.这样做的目的都是分解问题、简化问题，因为排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，所以理解和掌握两个计数原理是学好本章内容的关键.

1.两个计数原理及其教学

（1）两个计数原理近乎于常识，学生对原理本身的理解难度不大，困难在于其应用——需要根据具体问题的背景选择相应的原理，对问题的背景分析往往有困难，同时还需要通过一定的技巧对问题进行转化，这也是困难的.特别是综合应用两个计数原理解决问题时，学生常常会在该用哪个原理、该如何分解不同情况、如何合理安排计数步骤、如何避免重复计数等方面感到困难.因此，本节采取先通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号问题），经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一到综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法.

值得注意的是,教科书对两个计数原理的定义中,分别只涉及“两类方案”和“两个步骤”,而把含有“类方案”和“个步骤”的问题作为计数原理的推广,用探究的方式,让学生自己去思考研究.这样做不但使定义简洁又不失一般性,容易与学生熟悉的数的加法、乘法建立联系,从而更有利于认识两个计数原理之间的内在联系,而且也给学生留出了一定的独立思考、自主学习的空间.

在教学中,应注意结合实例阐述两个计数原理的基本内容,分析原理的条件和结论,特别是要注意使用对比的方法,引导学生认识它们的异同.

(2)分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都是讨论“完成一件事情”所有不同方法种数的问题.这里,“完成一件事情”是一个比较抽象的概念,它比学生熟悉的解应用题中遇到的“完成一件工作”“完成一项工程”等的含义要广泛得多,教学中应结合实例让学生进行辨析.例如:

①从甲地到乙地;从甲地经丙地再到乙地.

②从所有教科书中任取一本;从所有教科书中任取数学书、语文书各一本.

③从这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数.

这些都是原理中所说的“完成一件事情”.排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”.在实际应用中,学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同.例如,在分析“从这九个数字中任取两个,共可组成多少没有重复数字的两位数”时,学生容易把要完成的“一件事情”理解成为“求满足条件的两位数的个数”.又如,在解决“求展开式的项数”时,大多数学生都不清楚这里要完成的是“得到展开式的一项”.教学时应当注意利用简单实例引导学生消除这种误解.只有准确理解了什么是“完成一件事情”,才能进一步分析可以用什么方法完成,是否需要分类或分步完成,这样才能确定到底应该用哪个计数原理.

(3)两个计数原理的区别在于:分类计数原理与“分类”有关,类与类之间互不相容,用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与“步骤”有关,只有依次完成每一个步骤,才能完成这件事情.

为了更清楚地认识两个计数原理的内涵及其区别,我们从集合运算的角度来分析一下.设完成一件事情的方法的集合是,且.

如果完成这件事的方法可以区分为互不相同的两类,即

记，那么

如果完成这件事需要分成两个步骤,即

记,那么,

（4）在引导学生理解和应用两个计数原理时，应使学生认识到分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中；分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事情.

在分类时，首先要根据问题的特点确定