专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）（解析版）.docxVIP

专题02相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法:

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子”模型(共边角模型)

【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1图2图3图4

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；

结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.

3）“母子”模型（变形）

条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；

4）共边模型

条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：；

例1．（2023·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当时，．

??

【答案】

【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．

【详解】解：∵，∴，即，∴，

∴当时，，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．

例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．

（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出

（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．

【详解】（1）∵，，∴；

（2）∵，∴，，

∴，∴，

∴，即，∴．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．

例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．

证明：（1）∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，

∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，

∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；

（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，

∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，

∴，∴CD2＝AC?BD．

例4．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．

（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出

（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．

【详解】（1）∵，，∴；

（2）∵，∴，，

∴，∴，

∴，即，∴．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．

例5．（2023·成都市·九年级专题练习）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．

（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．

【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；

（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．

【详解】证明：（1），，

，，

在和中，，；

（2）点为的中点，，

由（1）已证：，，

设，则，，

，（等腰三角