专题03 方程（方程组、分式方程、一元二次方程及应用30题）（解析版）.docxVIP

专题03方程（方程组、分式方程、一元二次方程及应用30题）（解析版）

题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，方程组、分式方程、一元二次方程及应用30题。

一、单选题，3题

1．（2023上·上海青浦·九年级校考期中）已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（????????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键．

由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可．

【详解】解：由题意知，，即，整理得，，

，

∴，

解得，或（舍去），

故选：C．

2．（2024上·上海长宁·九年级统考期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．

【详解】解：令，，则，

可变形为，

整理，得，

，

解得，

边长为正数，

，，

即，，

，故A选项错误；

，故B选项正确；

，故C选项错误；

，故D选项错误；

故选B．

3．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）下列方程中，有实数解的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】A、根据△的值判断即可，B、根据二次根式的意义判断即可；C、根据分式方程的解的定义判断即可；D、根据分式方程的解的定义判断即可．

【详解】解∶A．，

原方程无实数根，

B．当，即时，原方程无实数根，

C．当，即，或时，原方程无实数根，

D．，

故选∶D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，正确的解方程是解题的关键．

二、填空题，15题

4．（2023上·上海长宁·九年级上海市娄山中学校考期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是．

【答案】/

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，列出方程解题即可．

【详解】解：设的距离为，则，

根据题意列方式：

，

，

整理得：

，

，

根据求根公式，

解出，（舍去）．

故答案为：．

5．（2024上·上海奉贤·九年级统考期末）如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是．

【答案】

【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．

根据黄金分割的定义解答．

【详解】解：设，

根据题意列方程得，，

即，

解得(负值舍去)．

故答案为：．

6．（2023上·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边、上，如果的边长为20，高为15，那么正方形的边长为．

??

【答案】

【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．

【详解】解：由正方形得，即，

，

．

由得，

．

，，

，，

即，

因为长为20，高为15，设正方形的边长，

得，

解得．

故正方形的边长是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程进行求解．

7．（2023上·上海虹口·九年级上外附中校考阶段练习）已知关于的方程无解，则实数的值为．

【答案】或2或

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出得值，再由分式方程无解确定出m的值即可．

【详解】解：

去分母，得：，

解得：，

方程无解，

或或，

或，

当时，，解得：；

当时，，解得：；

当时，解得；

即实数的值为或2或，

故答案为：或2或．

【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题过程中不要漏掉答案．

8．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）在比例尺是的地图上，测得甲乙两地的距离是3厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．

【答案】450

【分析】设甲乙两地的实际距离是x厘米，然后根据比例尺的定义列方程求解，最后同一单位即可解答．

【详解】解：设甲乙两地的实际距离是x厘米，

由题意可得：，解得：厘米=450千米．

故答案为450．

【点睛】本题考查了比例线段、一元一次方程的应用等知识点，根据比例尺的定义列方程是解题的关键．

9．（2024上·上海金山·九年级统考期末）已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么．

【答案】

【分析】由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可．

【详解】解：由题意知，，

∵点是线段的黄金分割点，

∴，即，整理得，

解得：或（舍去），

故答案为：．

【点睛】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．解题的关键在于对黄金分割的熟练掌握与灵活运用．

10．（2024上·上海金山·九年级统考期末）把矩形绕点C顺时针旋