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专题07立体几何小题综合
冲刺秘籍
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欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
空间的线线平行或垂直
设，，则
；
.
夹角公式
设，b＝，则
.
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
冲刺训练
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一、单选题
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（????）
A．若，则．
B．若与异面，，则存在，使得．
C．若，则．
D．若，则．
【答案】D
【分析】利用线线、线面、面面关系的判定与性质一一判断即可.
【详解】对选项A，若，则，又，∴．选项A正确；
对选项B，在上取点，分别作的平行线，这两条相交直线确定平面，
因为，则，同理可证，
因为，所以，又因为，，
所以，故B正确；
??
对选项C，设，在平面内任取一个不在直线上的点，
过点作直线，垂足分别为点．
又因为，，，
，又，故，
又因为平面，从而．故选项C正确；
??
对选项D，直线的位置关系可以是任意的，比如设，且，，，则根据平行的传递性知，故D错误.
故选：D.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（????）
??
A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式求解即可.
【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20的正方形，底面是边长为10的正方形，侧棱，记底面和底面的中心分别为和，则是正四棱台的高.
??
过作平面的垂线，垂足为，则且，，
所以，，
故，
所以棱台的高，
由棱台的体积公式得．
故选：C.
3．（2023·福建宁德·校考二模）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方体的几何性质，结合在直线三角形中锐角三角函数，求得棱长，利用异面直线夹角的定义，根据余弦定理，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则，，设，在中，易知，
在中，，，，
在长方体中，易知，
则为异面直线与的夹角或其补角，
在中，，则，同理可得，，
由余弦定理，则.
故选：C.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（????）
??
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可.
【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以.
故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，
则该小三棱锥几何体的体积为，
??
所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离.
易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离.
故选：C
5．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】在平行六面体中，不妨设，，．
,，
，，
所以，，
，
所以E到直线的距离为，
故选：A
6．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分
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