专题07 立体几何小题综合(解析版)_1.docxVIP

专题07 立体几何小题综合(解析版)_1.docx

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专题07立体几何小题综合

冲刺秘籍

冲刺秘籍

欧拉定理(欧拉公式)

(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形,则面数F与棱数E的关系:;

(2)若每个顶点引出的棱数为,则顶点数V与棱数E的关系:.

空间的线线平行或垂直

设,,则

.

夹角公式

设,b=,则

.

异面直线所成角

=

(其中()为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量)

直线与平面所成角,(为平面的法向量).

二面角的平面角

(,为平面,的法向量).

异面直线间的距离

(是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).

点到平面的距离

(为平面的法向量,是经过面的一条斜线,).

冲刺训练

冲刺训练

一、单选题

1.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知是三条不同的直线,是三个不重合的平面,则下列说法错误的是(????)

A.若,则.

B.若与异面,,则存在,使得.

C.若,则.

D.若,则.

【答案】D

【分析】利用线线、线面、面面关系的判定与性质一一判断即可.

【详解】对选项A,若,则,又,∴.选项A正确;

对选项B,在上取点,分别作的平行线,这两条相交直线确定平面,

因为,则,同理可证,

因为,所以,又因为,,

所以,故B正确;

??

对选项C,设,在平面内任取一个不在直线上的点,

过点作直线,垂足分别为点.

又因为,,,

,又,故,

又因为平面,从而.故选项C正确;

??

对选项D,直线的位置关系可以是任意的,比如设,且,,,则根据平行的传递性知,故D错误.

故选:D.

2.(2023·浙江·校联考模拟预测)如图是我国古代量粮食的器具“升”,其形状是正四棱台,上、下底面边长分别为20cm和10cm,侧棱长为cm.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平,这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装(????)

??

A.1.5L B.1.7L C.2.3L D.2.7L

【答案】C

【分析】根据棱台的体积公式求解即可.

【详解】根据题意画出正四棱台的直观图,其中底面是边长为20的正方形,底面是边长为10的正方形,侧棱,记底面和底面的中心分别为和,则是正四棱台的高.

??

过作平面的垂线,垂足为,则且,,

所以,,

故,

所以棱台的高,

由棱台的体积公式得.

故选:C.

3.(2023·福建宁德·校考二模)在长方体中,和与底面所成的角分别为和,则异面直线和所成角的余弦值为(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【分析】根据长方体的几何性质,结合在直线三角形中锐角三角函数,求得棱长,利用异面直线夹角的定义,根据余弦定理,可得答案.

【详解】由题意,可作图如下:

则,,设,在中,易知,

在中,,,,

在长方体中,易知,

则为异面直线与的夹角或其补角,

在中,,则,同理可得,,

由余弦定理,则.

故选:C.

4.(2023·山东泰安·统考模拟预测)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为(????)

??

A. B.

C. D.

【答案】C

【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,由等体积转化得出截去的三棱锥的高,由体对角线减去该高,计算即可.

【详解】由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,如图所示,由题意可知:,所以.

故该正方体的棱长为,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,

则该小三棱锥几何体的体积为,

??

所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离.

易知鲁班锁两个相对的三角形面平行,且正方体的体对角线MD垂直于该两面,故该两面的距离.

故选:C

5.(2023·广东佛山·统考模拟预测)如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是a,且,,E为的中点,则点E到直线的距离为(????)

??

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】利用基底向量,即可由空间向量的模长,结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】在平行六面体中,不妨设,,.

,,

,,

所以,,

所以E到直线的距离为,

故选:A

6.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)车木是我国一种古老的民间手工工艺,指的是用刀去削旋转着的木头,可用来制作家具和工艺品,随着生产力的进步,现在常借助车床实施加工.现要加工一根正四棱柱形的条木,底面边长为,高为.将条木两端夹住,两底面中心连线为旋转轴,将它旋转起来,操作工的刀头逐步靠近,最后置于离旋转轴处,沿着旋转轴平移,对整块条木进行加工,则加工后木块的体积为(????).

A. B. C. D.

【答案】B

【分

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