专题21 数列大题综合（解析版）_1.docxVIP

专题21数列大题综合

冲刺秘籍

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等差数列通项公式：或

等比数列通项公式：

的类型，公式

数列求和的常用方法：

对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；

等差数列求和，等比数列求和

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.

即

常见的裂项技巧：

；

；

指数型；

对数型.

等

冲刺训练

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一、解答题

1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；

（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.

【详解】（1）由，则，

两式相减得：，

整理得：，

即时，，

所以时，，

又时，，得，也满足上式．

故．

（2）由（1）可知：．

记，设数列的前项和．

当时，；

当时，

综上：

2．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知数列是正项等比数列，且.

(1)求的通项公式;

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件可得，从而可求出公比，进而可求出的通项公式，

（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得

【详解】（1）由等比数列的性质可得，

由题意可得，解得，

所以等比数列的公比为，

所以.

（2）由（1）得.

所以，①

则，②

①②得

，

因此；

3．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；

（2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和．

【详解】（1）由数列是首项为1，公差为d的等差数列，可得．

又，，是等比数列的前三项，可得，

即有，解得或，

时，，不能作为等比数列的项，舍去，

所以；

（2）由（1）可得等比数列的前三项为1，2，4，则首项为1公比为2，，

所以，

数列的前n项和．

4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．

(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据递推关系式可得，根据累加法对进行分奇偶讨论，确定，即可证明数列为等差数列，从而求解前n项和即可；

（2）根据裂项相消法求解数列前n项和即可．

【详解】（1）因为，所以，

当时，

当时，

所以

则当为偶数时，

累加得：，所以

当为奇数时，为偶数，则，则此时，

综上可得

所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，

其前n项和

（2）由（1）可得

则

故其前n项和

．

5．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；

（2）利用（1）的结论和乘公比错位相减法求出数列的和．

【详解】（1）当时，，则，且；

当时，，，两式相减得，

∴（），

∴当时，，即，

则，∴．

综上，对任意都成立．

（2），集合的非空子集有个，

其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个，

含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个，

所以最小元素为1的子集个数为个，

同理，最小元素为2的子集个数为个，

……，最小元素为的子集个数为1个，

∴，

，

∴，则．

6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列满足，__________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.

①，②???③

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项积为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）应用等比数列、等差数列的定义和通项公式，再通过构造法求通项公式；

（2）数列单调性的应用求出最大值.

【详解】（1）若选①：已知数列满足，则，

则，是首项为，公比为的等比数列，

故，即

若选②：，

则是首项为，公差为4的等差数列，故，即

若选③：??因为，

所以当时，，

两式作差得，即，

又因为满足上式，所以

（2），故不是单调递增的，又，故当或4时，最大，最大值为．

7．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，的前项和为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分