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专题21数列大题综合
冲刺秘籍
冲刺秘籍
等差数列通项公式:或
等比数列通项公式:
的类型,公式
数列求和的常用方法:
对于等差、等比数列,利用公式法可直接求解;
等差数列求和,等比数列求和
(2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;
(3)对于结构,利用分组求和法;
(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列,利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧:
;
;
指数型;
对数型.
等
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一、解答题
1.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知是数列的前项和,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用与的关系,结合累乘法即可求出数列的通项公式;
(2)分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】(1)由,则,
两式相减得:,
整理得:,
即时,,
所以时,,
又时,,得,也满足上式.
故.
(2)由(1)可知:.
记,设数列的前项和.
当时,;
当时,
综上:
2.(2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知数列是正项等比数列,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等比数列的性质结合已知条件可得,从而可求出公比,进而可求出的通项公式,
(2)由(1)得,然后利用错位相减法可求得
【详解】(1)由等比数列的性质可得,
由题意可得,解得,
所以等比数列的公比为,
所以.
(2)由(1)得.
所以,①
则,②
①②得
,
因此;
3.(2023·黑龙江大庆·统考二模)设数列是首项为1,公差为d的等差数列,且,,是等比数列的前三项.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得公差,进而得到所求;
(2)由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式,以及对数的运算性质可得所求和.
【详解】(1)由数列是首项为1,公差为d的等差数列,可得.
又,,是等比数列的前三项,可得,
即有,解得或,
时,,不能作为等比数列的项,舍去,
所以;
(2)由(1)可得等比数列的前三项为1,2,4,则首项为1公比为2,,
所以,
数列的前n项和.
4.(2023·福建宁德·校考模拟预测)已知数列,,,,.
(1)求证:数列是等比数列,并求数列的前n项和;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)根据递推关系式可得,根据累加法对进行分奇偶讨论,确定,即可证明数列为等差数列,从而求解前n项和即可;
(2)根据裂项相消法求解数列前n项和即可.
【详解】(1)因为,所以,
当时,
当时,
所以
则当为偶数时,
累加得:,所以
当为奇数时,为偶数,则,则此时,
综上可得
所以,则数列是以为首项,为公比的等比数列,
其前n项和
(2)由(1)可得
则
故其前n项和
.
5.(2023·江苏徐州·校考模拟预测)已知数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)集合,将集合的所有非空子集中最小的元素相加,其和记为,求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式;
(2)利用(1)的结论和乘公比错位相减法求出数列的和.
【详解】(1)当时,,则,且;
当时,,,两式相减得,
∴(),
∴当时,,即,
则,∴.
综上,对任意都成立.
(2),集合的非空子集有个,
其中最小元素为1的集合中,含1个元素的集合有1个,含2个元素的集合有个,
含3个元素的集合有个,……,含个元素的集合有个,
所以最小元素为1的子集个数为个,
同理,最小元素为2的子集个数为个,
……,最小元素为的子集个数为1个,
∴,
,
∴,则.
6.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知数列满足,__________,以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.
①,②???③
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项积为,求的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】(1)应用等比数列、等差数列的定义和通项公式,再通过构造法求通项公式;
(2)数列单调性的应用求出最大值.
【详解】(1)若选①:已知数列满足,则,
则,是首项为,公比为的等比数列,
故,即
若选②:,
则是首项为,公差为4的等差数列,故,即
若选③:??因为,
所以当时,,
两式作差得,即,
又因为满足上式,所以
(2),故不是单调递增的,又,故当或4时,最大,最大值为.
7.(2023·福建三明·统考三模)已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,的前项和为,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分
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