专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（原卷版）.docxVIP

专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

图1图2

8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。

8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中（填“增大”或“减小”）度．

例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：

(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；

(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；

(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．

例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．

求证：（1）；（2）．

例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；

(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；

(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．

模型2、“A”字模型

结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。

例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．

例2．（2023·重庆·八年级期中）如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（）

A． B． C． D．

例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．

例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（????）．

A． B． C． D．

例5．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：

(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．

A．??90°??B．??315°??C．??135°??D.270°

(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．

(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．

(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．

例6．（2023春·浙江七年级课时练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．

几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．

运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？

分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；

（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．

模型3、三角板模型

【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。

图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，

例1．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（????）

A． B． C． D．

例2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（????）

A． B． C． D．

例3．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（????）

A． B． C． D．

例4．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐