专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（解析版）.docxVIP

专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型

近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

图1图2

8字模型（基础型）

条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。

8字模型（加角平分线）

条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D

例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中（填“增大”或“减小”）度．

【答案】减小15

【分析】延长EF到H与CD交于H，先利用对顶角的性质和三角形内角和定理求出DCE=60°，然后根据三角形外角的性质得到∠DHE=∠E+∠DCE=100°，∠DFE=∠D+∠DHF，由此求解即可．

【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H，

∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，

∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，

∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，故答案为：减小，15．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．

【答案】540°

【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．

【详解】解：如图所示：

由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．

【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键

例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：

(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；

(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；

(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．

【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)理由见解析

【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答；（2）根据题中给出的“字”的概念即可解答；

（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答．

【详解】（1）解：，

∴，∵，．

（2）解：图中有个“字”分别是：、、、、．

（3）解：平分平分，，

，．

【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．

求证：（1）；（2）．

（1）在中，，在中，，

两不等式相加得，∴即

（2）应用上题的结论：，，

∴．

例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题

(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；

(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；

(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得

结论；（4）如图4，同理计算可得结论．

【详解】（1）在中，，在中，，

∵，∴故答案为：

（2）设，，∵，分别平分，，∴，，

∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，故答案为：

（3）由（2）可知：，∵，∴，∴，

∴，

（4）如图4，延长、交于点，设，，

∴，，