函数的极值说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值、最小值第三章

一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值。

注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,

定理1(极值第一鉴别法)且在去心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放\暂停

例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表鉴别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为

定理2(极值第二鉴别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一鉴别法知(2)类似可证.

例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)鉴别因故为极小值;又故需用第一鉴别法鉴别.

定理3(鉴别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论对的.证:利用在点的泰勒公式,可得

例如,例2中所以不是极值点.极值的鉴别法(定理1~定理3)都是充足的.阐明:当这些充足条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.

二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达成.求函数最值的办法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值

特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达成.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义鉴别求出的可疑点与否为最大值点或最小值点.(小)

例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.

因此也可通过例3.求函数阐明:求最值点.与最值点相似,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.

(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选用?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,

清晰(视角?最大)?观察者的眼睛1.8m,例6.一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清晰.问观察者在距墙多远处看图才最

内容小结1.持续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充足条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充足条件为极大值为极小值(4)鉴别法的推广(Th.3)

最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义鉴别.思考与练习(L.P500题4)2.持续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:运用极限的保号性.

2.设在的某邻域内持续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)获得极大值;(D)获得极小值.D提示:运用极限的保号性.

3.设是方程的一种解,若且则在(A)获得极大值;(B)获得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A

试问为什么值时,在时获得极值,还是极小.解:由题意应有又获得极大值为备用题1.求出该极值,并指出它是极大

试求解:2.机动目录上页下页返回结束故所求最大值为