专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（解析版）.docxVIP

专题10圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？

如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。

则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，

则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．

如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

例1．（2023.江苏九年级期中）如图，中，于点是半径为2的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下：

连接BP,∵,∴BD=DC,

∵是的中点，∴DE//BP,,所以当BP的长最大时，长的最大，

由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大，

∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,

∵的半径为2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故选：B.

例2.（2023·江苏·九年级专题练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．

解：如图，作，使得，，则，，，

，，，，

，，即（定长），

点是定点，是定长，点在半径为1的上，

，的最大值为，故答案为．

例3．（2022·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是．

??

【答案】

【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可；

【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，

??

∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°，

∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE，

∵，∴，∴，

又AE=1，解得，由勾股定理可得，，

由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.

例4．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是

A． B．3 C． D．

【答案】D

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，

根据折叠可知：．在中，，，，

，的最小值．故选D．

例5．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最大值为．

【答案】

【分析】连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．

【详解】解：如图，连接，

∵点是的中点，，∴，∴，

∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，

当点在的延长线上时，的值最大，

在中，∵，，∴，

∴，∴的最大值为，故答案