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专题12将军饮马模型

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

图1图2

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：

辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.

（2）如图2，点A、B在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.

例1．（2022·广东·九年级专题练习）已知点，，在x轴上的点C，使得最小，则点C的横坐标为_______．

例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为______．

例3．（2022·浙江·临海市八年级开学考试）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？

例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；

（2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值

【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.

例1．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）

A．50° B．60° C．70° D．80°

例2．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为___．

例3.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90o，∠C＝90o，∠D＝60o，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）

A. B. C.6 D.3

模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）如图1，两个点都在直线外侧：

辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.

（2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’.

图1图2

（3）如图3，两个点都在内侧：

辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’.

（4）如图4，台球两次碰壁模型：

辅助线：同图3辅助线作法。

图3图4

例1．（2023