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期中专题04椭圆、双曲线、抛物线大题综合
备考秘籍
备考秘籍
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤:
(1)设直线方程,设交点坐标为、;
(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
(3)列出韦达定理;
(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
(5)代入韦达定理求解
2.若直线与圆雉曲线相交于,两点,
由直线与圆锥曲线联立,消元得到()
则:
则:弦长
或
处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为),
(2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关与的等式,
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于与的等式进行变形,直至找到,
①若等式的形式为整式,则考虑将含的式子归为一组,变形为“”的形式,让括号中式子等于0,求出定点;
②若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去变为常数.
处理定值问题的思路:
联立方程,用韦达定理得到、(或、)的形式,代入方程和原式化简即可.
真题训练
真题训练
一、解答题
1.(2022秋·江苏连云港·高二江苏省海州高级中学校考期中)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线上.
(1)求该抛物线的方程;
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2,求点A到该抛物线焦点的距离.
【答案】(1)
(2)6
【分析】(1)求出焦点坐标,设出抛物线方程,从而得到,求出及抛物线方程;
(2)由焦半径公式进行求解.
【详解】(1)中,令得:,
则焦点坐标为,故设抛物线方程为,
故,解得:,
故抛物线方程为;
(2)设点A到该抛物线焦点的距离为,
由抛物线的定义可知:.
2.(2022秋·江苏连云港·高二统考期中)已知两地相距800米,一炮弹在某处爆炸,在处听到爆炸声的时间比在处迟2秒,设声速为340米/秒.
(1)爆炸点在什么曲线上?
(2)求这条曲线的方程.
【答案】(1)爆破点在以A?B为焦点且距B较近的双曲线的一支上
(2)
【分析】(1)根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线.
(2)根据已知条件求得,从而求得曲线的方程.
【详解】(1)设M为爆炸点,由题意得,则,
因此爆炸点离A点比离B点的距离更远,
所以爆破点在以A?B为焦点且距B较近的双曲线的一支上.
(2)以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.
设为曲线上任一点,
由,得2a=680,即a=340,,
由,得2c=800,即c=400,
所以
因为,所以.
因此,所以曲线方程为.
3.(2022秋·江苏淮安·高二统考期中)写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:
(1)两个焦点在坐标轴上,且经过和两点的椭圆方程;
(2)过点,且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意可知为避免讨论焦点位置带来的麻烦,可设出椭圆一般方程代入点坐标即可求得结果;
(2)利用椭圆可求得焦点坐标,设出双曲线标准方程代入点即可求得其标准方程.
【详解】(1)根据题意可设椭圆一般方程为,
将和两点代入可得,解方程组可得;
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意可知椭圆的焦点坐标为;
所以可设双曲线标准方程为,其中;
代入点可得,联立解得;
所以双曲线标准方程为.
4.(2022秋·江苏宿迁·高二统考期中)已知平面上两点,,的周长为18.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)当动点P满足时,求点P的纵坐标.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)根据周长可得动点满足的几何性质,根据椭圆的定义可得动点的轨迹方程.
(2)设,根据可得关于的方程组,从而可求点P的纵坐标.
【详解】(1)因为的周长为18,故,
由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆,其长轴长,故,
而半焦距,故,
故方程为:.
(2)设,则,,
因为,故,所以,
而,解得,
故点P的纵坐标为.
5.(2022秋·江苏徐州·高二校考期中)根据下列条件写出曲线的标准方程:
(1)求渐近线方程为,且经过点,的双曲线标准方程;
(2)求以原点为顶点,焦点在坐标轴上,且经过点的抛物线标准方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)由渐近线方程可设双曲线的方程为,代入点的坐标,解方程可得,进而得到所求双曲线的方程;
(2)根据题意,分析可得抛物线的开口向下或向左,据此分2种情况讨论,分析设出抛物线的方程,将的坐标代入计算可得的值,综合2种情况即可得答案.
【详解】(1)由渐近线方程为,可设双曲线的方程为,
由双曲线经过点,,可得,
即,可得双曲线的标准方程为
(2)根据题意,要求抛物线经过点,
则该抛物线开口向下或向左,
若抛物线开口向左,设其方程为,
又由其经过点,
则有,解可得,
此时抛物线的方程
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