专题13 等腰三角形中的分类讨论模型（解析版）.docxVIP

专题13等腰三角形中的分类讨论模型

模型1、等腰三角形中的分类讨论模型

【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。

1）无图需分类讨论

①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；

③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。

2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰

方法：两圆一线

具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外）

③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外）

例1．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对

【答案】B

【分析】利用非负数的性质，求出，的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．

【详解】解：，又，，，，

当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系；

当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，故选：B．

【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

例2．（2023·四川达州·八年级校考期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则其腰长为（????）

A． B．或 C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】分为腰和底两种情况求解,注意三角形的存在性：通过两个短边和大于最长边可判断三角形存在，反之则无法构成三角形．

【详解】解：因为等腰三角形的周长为，其中一边长为，

当为腰长时，其余两边的长分别为，,三角形不存在；

当为底边长时，其余两边的长都为，三角形存在；故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它顶角的度数是（）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和为，进行分类讨论即可

【详解】解：①当底角为时，顶角，

②当顶角为时，顶角度数，综上：顶角度数为或；故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．

例4．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

，顶角；

如图，三角形是钝角时，，顶角，

综上所述，顶角等于或．故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．

例5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（????）

??

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】B

【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案.

【详解】如图所示．网格中满足条件的点C有，共4个,故选B．

【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解题的关键.

例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为____．

【答案】或或．

【分析】根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．

【详解】解：①如图，当时，

是等腰直角三角形，

,，；

②如图，当时，过点作，交的延长线于点，

，，是等腰直角三角形，

，，

又，是等腰直角三角形，，

在中，，，

在中，，在中，；

③如图，当时，

，是等腰直角三角形，，

在中，，在中，．

综上所述，的长为：或或．故答案为：或或．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

例7．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为．

【答案】或

【分析】画出图