专题13 二次函数与平行四边形存在性问题（解析版）.docxVIP

专题13二次函数与平行四边形存在性问题

解题点拨

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

（1）对应边平行且相等；

（2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：

（1）对边平行且相等可转化为：，

可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

（2）对角线互相平分转化为：，

可以理解为AC的中点也是BD的中点．

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，

→．

当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．

（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

直击中考

1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；

(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，或或

【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；

（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；

（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．

【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，

二次函数顶点为，

设二次函数解析式为，

将点代入得，，

，

；

（2）如图，连接，

当时，，

或2，，

点P在抛物线上，

点P的纵坐标为，

；

（3）设，

当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，

当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，

当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，

综上：或或．

【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．

2．已知抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线还经过点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点在轴上，在抛物线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)点的坐标为：或或

【分析】（1）利用二次函数的对称轴，可得，然后将点和点代入函数解析式即可计算出答案．

（2）根据平行四边形性质，分两种情况讨论，①定点、为边的平行四边形；②定点、为对角线的平行四边形，利用平行四边的性质即可求得答案．

【详解】（1）∵抛物线关于轴对称，

∴对称轴．

即．

∵抛物线经过点和点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为．

（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，且函数图像关于轴对称，点坐标为，

∴点坐标为．

∴．

①以为边构造平行四边形时，

∴，

即平行于轴．

设点的坐标为，则点的坐标为，

∴，

∴．

解得：．

即点的坐标为或．

②以为对角线构造平行四边形时，

∴，．

又∵点在轴上，对角线在轴上，

∴点在轴上，

即点的坐标为抛物线的顶点坐标．

综上所述，点的坐标为：或或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用以及平行四边形的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键．

3．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．抛物线的顶点为D，其对称轴与线段交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段与点P和F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．

(1)求出所在直线的表达式；

(2)在动直线l移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点P的坐标；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的解析式得出，，，设所在直线的表达式为：，由待定系数法求出所在直线的表达式即可；

（2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线的解析式求出点E的坐标，则，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：，F的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案；

【详解】（1）解：∵二次函数的表达式为：，

当