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专题13二次函数与平行四边形存在性问题
解题点拨
考虑到求证平行四边形存在,必先了解平行四边形性质:
(1)对应边平行且相等;
(2)对角线互相平分.
这是图形的性质,我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:
(1)对边平行且相等可转化为:,
可以理解为点B移动到点A,点C移动到点D,移动路径完全相同.
(2)对角线互相平分转化为:,
可以理解为AC的中点也是BD的中点.
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统一:,
→.
当AC和BD为对角线时,结果可简记为:(各个点对应的横纵坐标相加)
以上是对于平行四边形性质的分析,而我们要求证的是平行四边形存在性问题,此处当有一问:若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”,则四边形ABCD是否一定为平行四边形?
反例如下:
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化,故存在反例.
虽有反例,但并不影响运用此结论解题,另外,还需注意对对角线的讨论:
(1)四边形ABCD是平行四边形:AC、BD一定是对角线.
(2)以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形:对角线不确定需要分类讨论.
直击中考
1.(2022·四川攀枝花·统考中考真题)如图,二次函数的图象与x轴交于O(O为坐标原点),A两点,且二次函数的最小值为,点是其对称轴上一点,y轴上一点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连结,,设点P的横坐标为t,的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)在二次函数图象上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点N的坐标,若不存在,请说明理由.
2.已知抛物线关于轴对称,与轴交于、两点,点坐标为,抛物线还经过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点在轴上,在抛物线上是否存在点,使以、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.抛物线的顶点为D,其对称轴与线段交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段与点P和F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.
(1)求出所在直线的表达式;
(2)在动直线l移动的过程中,试求使四边形为平行四边形的点P的坐标;
4.(2021·湖南湘西·统考中考真题)如图,已知抛物线经过,两点,交轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接,求直线的解析式;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点,使的值最小,求点的坐标,并求出此时的最小值;
(4)点为轴上一动点,在抛物线上是否存在一点,使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2022·重庆·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与直线交于点,.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点是直线下方拋物线上的一动点,过点作轴的平行线交于点,过点作轴的平行线交轴于点,求的最大值及此时点的坐标;
(3)在(2)中取得最大值的条件下,将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点,使得以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,写出所有符合条件的点的坐标,并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程.
6.(2022·湖南怀化·统考中考真题)如图一所示,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PFAB交BC于点F.
(1)求抛物线和直线BC的函数表达式,
(2)当△PEF的周长为最大值时,求点P的坐标和△PEF的周长.
(3)若点G是抛物线上的一个动点,点M是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由.
7.(2022·四川眉山·中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),与轴交于点,且点的坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)如图1,若点是第二象限内抛物线上一动点,求点到直线距离的最大值;
(3)如图2,若点是抛物线上一点,点是抛物线对称轴上一点,是否存在点使以,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
8.(2022·湖南娄底·统考中考真题)如图,抛物线与轴相交于点、点,与轴相交于点.
(1)请直接写出点,,的坐标;
(2)点在抛物线上,当取何值时,的面积最大?并求出面积的最大值.
(3)点是抛物线
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