高考数学一轮总复习考点规范练23 解三角形.docVIP

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考点规范练23解三角形

一、基础巩固

1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=2,A=60°,则c等于()

A.12 B.1 C.3

答案:B

解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2

2.已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面积S=3,则b等于()

A.13 B.4

C.3 D.15

答案:A

解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∵sinB≠0,

∴cosB=12

∵B∈(0,π),∴B=π3

又S=12acsinB=12×1×c×

∴c=4.

∵b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=13,∴b=13

3.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为()米.

A.210(6+2)

C.2102 D.20(6-

答案:B

解析:设AC=x,则BC=x-40,

在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cos∠BAC,

即(x-40)2=x2+1002-100x,解得x=420.

在△ACH中,AC=420,∠CAH=15°+30°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,

由正弦定理,得CHsin∠CAH=ACsin∠CHA,即

4.如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为()

A.130π9 B.65π9 C.65π

答案:C

解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

由题图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cosC=10+9-136

设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=csinC=1331010=1303

5.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是 ()

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

答案:D

解析:∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,

∴B=π3

∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC.

由正弦定理得b2=ac.

在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3

∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,

∴△ABC为等边三角形.

6.在△ABC中,cosC=23

A.5 B.25 C.45 D.85

答案:C

解析:由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=16+9-2×4×3×23

由余弦定理的推论知cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=

7.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是()

A.cosC=33 B.sinB=

C.a=3 D.S△ABC=2

答案:AD

解析:由A+3C=π,得B=2C.

根据正弦定理bsinB=c

又sinC≠0,故cosC=33

因为C∈(0,π),所以sinC=63

sinB=sin2C=2sinCcosC=22

由c2=a2+b2-2abcosC,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.

若a=3,则A=C=π4,B=π

S△ABC=12absinC=12×1×2

8.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察点D的俯角为75°,观察点C的俯角为30°;在B位置时,观察点D的俯角为45°,观察点C的俯角为60°,且AB=3km,则点C,D之间的距离为km.?

答案:5

解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°.

由正弦定理可得ABsin∠ADB

即3sin60

得AD=3sin45

由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,则BC=AB=3km,于是AC=3km.

在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠DAC=5,即CD=5km.

9.如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准