江苏省江阴长泾中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案解析）.docx

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江苏省江阴长泾中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合的真子集个数为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．设复数是关于的方程的一个根，则（????）

A． B． C． D．

3．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．下列命题中，真命题的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（????）

A． B． C． D．

6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．或

7．已知，，则（????）

A． B． C． D．

8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．同一平面内，是夹角为的单位向量，的模为，则的值可能为（????）

A．1 B．2

C．3 D．4

10．已知，都是复数，下列正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．已知函数，则（????）

A．的图象关于直线对称

B．

C．

D．在区间上的极大值为

三、填空题

12．已知，则的值为．

13．如图，函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则=.

14．已知均为正实数，函数．

（1）若的图象过点，则的最小值为；

（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为．

四、解答题

15．已知集合

(1)求；

(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

16．已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称．

(1)求函数的解析式，并求使成立的的取值范围；

(2)若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，设函数，求在上的值域．

17．在中，，.

??

(1)求的值；

(2)若，求的面积;

(3)设为内一点，，，求的值.

18．已知函数是偶函数，是奇函数，且.

(1)求和的解析式；

(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围;

(3)设函数，若存在大于1的极小值点，求实数的取值范围.

19．对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.

(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；

(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？

(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

D

C

D

B

D

C

BCD

AD

题号

11

答案

ABD

1．C

【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得.

【详解】集合含有个元素，

所以集合的真子集有个.

故选：C

2．D

【分析】将代入方程结合复数的乘法运算即可得解.

【详解】将代入方程得：，得，即.

故选：D.

3．D

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由推不出，

如，，满足，但是，故充分性不成立；

由也推不出，

如，，满足，但是，故必要性不成立；

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．C

【分析】利用特殊值判断A、B、D，利用作差法判断C.

【详解】对于A：当，时，满足，但是，故A错误；

对于B：当，时，满足，但是，故B错误；

对于C：因为，

又，所以，所以，即，故C正确；

对于D：当时在上单调递减，又，所以，故D错误.

故选：C

5．D

【分析】根据平面向量基本定理用表示，又因为三点共线，利用系数和为1求解结果.

【详解】由，得出，

由得

，

因为三点共线，所以，解得.

故选：D.

6．B

【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.

【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，

又在上单调递增，

所以，解得，

即实数的取值范围是.

故选：B

7．D

【分析】利用三角恒等变换求解即可.

【详解】，

，.