1.2.3直线与平面的夹角（原卷版）_1.docx

1.2.3直线与平面的夹角

TOC\o1-3\h\u题型1用定义法求斜线和平面的夹角 2

题型2最小角定理求斜线和平面的夹角 4

题型3向量法求斜线和平面所成的角 5

题型4探索性习题 8

知识点一.直线与平面的夹角

1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.

2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.

3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）

知识点二.最小角定理

1.线线角、线面角的关系式：如图，AB⊥α，则图形θ，θ1

2.最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.

知识点三.用空间向量求直线与平面的夹角

1.定义：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，u与n的角为φ，则有sinθ=__cosφ??????____=___

2.范围：[0,π2]

题型1用定义法求斜线和平面的夹角

【方法总结】计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sinθ=h

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sinθ

【例题1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体ABCD-A1B1C1D

??

(1)求三棱锥A-

(2)当O1是上底面A1B1C1

【变式1-1】1.（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图所示，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E为等边三角形ACD的中心，F,

??

(1)用BA,BC,BD表示

(2)求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.

【变式1-1】2.（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB

(1)求证：平面PAC⊥平面PBD

(2)若PE=3，求点B到平面PEM

(3)若PE=3，求直线PB与平面PEM

【变式1-1】3.（2023·全国·高二假期作业）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面

(1)证明：A1

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求

??

【变式1-1】4.（浙江省温州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（A卷））“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为_____________.

??

【变式1-1】5.（2023·全国·高一专题练习）动点M在正方体ABCD-A1B1C1D1从点B

A．13,63 B．13,

题型2最小角定理求斜线和平面的夹角

【方法总结】

求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角，也是常用的方法．

【例题2】∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq\r(2)a，求OA与平面α所成的角．

【变式2-1】1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ．

【变式2-1】2．若直线l与平面α所成角为eq\f(π,3)，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()

A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))

C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))

题型3向量法求斜线和平面所成的角

【方法总结】求线面角的两种思路

（1）线面角转化为线线角．根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此时要注意两直线夹角的取值范围.

（2）向量法．

方法一：设直线PA的方向向