1.3 空间向量及其运算的坐标表示 精讲（6大题型）（原卷版）_1.docx

1.3空间点向量及其运算的坐标表示

重点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题，及点在空间直角坐标系中的坐标表示。

难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何坐标化、代数化。

一、空间直角坐标系

在空间选定点和一个单位正交基底

以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：

轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。

这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，

通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.

空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.

二、空间一点的坐标表示

在空间直角坐标系中为坐标向量。

给定任一向量，存在唯一的有序实数组，使.

有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。

也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作.

空间点对称的特点：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。

对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论。

三、空间向量的坐标运算

1、空间两点的距离公式

若，，则

①

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

②，

或

2、向量加减法、数乘的坐标运算

若，，则：

①；

②；

③；

3、向量数量积的坐标运算

若，，则：；

即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。

4、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式

若，，

则①，．

②．

【注意】

（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

，其中θ的范围是

（2）

（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

5、空间向量平行和垂直的条件

若，，

则①，，

②

规定：与任意空间向量平行或垂直

作用：证明线线平行、线线垂直.

题型一空间直角坐标系及坐标表示

【例1】（2022秋·北京房山·高二统考期中）已知，则向量的坐标是（）

A．B．C．D．

【变式1-1】（2023秋·广东·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（）

A．B．C．D．

【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴?轴?轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）

A．B．C．D．

【变式1-3】（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）

A．B．C．D．

题型二空间点的对称问题

【例2】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（）

A．B．C．D．

【变式2-1】（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（）

A．B．C．D．

【变式2-2】（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（）

A．3B．5C．7D．9

【变式2-3】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）

A．B．C．D．

题型三空间向量运算的坐标表示

【例3】（2023春·安徽·高二合肥第六中学校联考开学考试）已知向量，，则（）

A．B．C．D．

【变式3-1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（）

A．B．C．D．

【变式3-2】（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（）

A．B．

C．D．

【变式3-3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（）

A．4B．5C．6D．7

题型四空间向量平行与垂直的坐标表示

【例4】（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知向量，，若，则（）

A．2B．18