第03讲 一元二次方程的解法（因式分解法）（5大核心考点）- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版） .pdf

第03讲一元二次方程的解法(因式分解法)

Y模块导航素养目标

模块一思维导图串知识1.会用分解因式法解某些数字系数的一元二次方程，

模块二基础知识全梳理能根据具体方程的特征，灵活选择方程的解法，进一步

模块三核心考点举一反三提高运算能力；

模块四小试牛刀过关测2.认识十字相乘法和分组分解法

模块一思维导图串知识

—元二次方程的解法

模块二基础知识全梳理

1.用配方法解一元二次方程x2—X=0

a=1,b=—1,c=0

公式法:b2-4ac=l-4xlx0=l0

1+11l-l八

/.X[==1,X)==0

2x12x1

2.那还有其他方法解x2—X=0吗

我们可以对x2—x进行因式分解，x2—X=x(x-1),所以只需要x(x-l)=。即可，所以要么x=0,

要么x-l=0,所以解出来x=0或x=l.

因此，当一个一元二次方程的一边为—，另一边能分解成为两个的乘积时，就可以

把解这样的一元二次方程转化为解两个,这种解一元二次方程的方法叫

做O

3.常见的因式分解法的类型

方法常见类型因式分解的形式方程的解

提公因式法x2±bx=0x(x土b)=0Xi=0,X2=±b

平方差法x2-a2=0(x+a)(x-a)=0Xi=-a,X2=a

完全平方法x2土2ax+a2=0(x±a)2=0Xi=X2=土a

十字相乘法x2+(a+b)x+ab=0(x±a)(x±b)Xi=±a,X2=±b

=0

4.因式分解法的步骤

(1)移项：将方程的右边化为0；

(2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

(3)转化：令两个一次因式分别为0,转化为两个一元一次方程；

(4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

5.用对应的因式分解法解下列方程

1

(1)3x2=x(提公因式法)X]=0,x

2~3

(2)(x+1)2-9=0(平方差法)X]■2,x2=二-4

(3)(x—IT—2(x_1)+1=0(完全平方法)X]0

(4)x2—2x—3=0(十字相乘法)X]—3,x?=—1

补充：

1.十字相乘法

【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：(破+0(cx+d)=s?+(血+阮)工+施.我们知道因式分

解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得子+(血+bc^x+bd=(or+Z?)(cx+d).通过观察可把

acx1+{ad+bc)x+bd看作以工为未知数，b、c、H为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式

的二次项系数次与常数项。H分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、

尾，叉乘凑中项”，如图1,这种分解因式的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式2x2+11x+12的二

次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2,