第04讲 数列求和(高频精讲）（原卷版）_1.docx

第04讲数列求和

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高考真题回归 2

第三部分：高频考点一遍过 3

高频考点一：倒序相加求和 3

高频考点二：分组（并项）求和 5

高频考点三：裂项相消求和 7

高频考点四：错位相减求和 10

高频考点五：数列求和的其他方法 13

第四部分：数学文化题 15

第五部分：高考新题型（劣构性试题） 17

第一部分：知识点必背

1.公式法

(1)等差数列前项和公式;

(2)等比数列前项和公式

2.裂项相消求和法

裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前项和.

①

②

③

④

⑤

3.错位相减求和法

错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．

4.分组求和法

如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

5.倒序相加求和法

即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.

第二部分：高考真题回归

1．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前n项和为，求证：；

(3)求．

2．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

3．（2021·全国（乙卷文）·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：倒序相加求和

典型例题

例题1．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前项和为______.

例题2．（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数?倒序相加法?最小二乘法?每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.

例题3．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.

例题4．（2023春·河南信阳·高二统考期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称()为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数．都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，已知函数

(1)求出的对称中心；

(2)求的值．

练透核心考点

1．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数，则___．

2．（2023春·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．

3．（2023春·河南新乡·高二新乡市第一中学校考阶段练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.

4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．

(1)计算的值．

(2)求数列的通项公式．

高频考点二：分组（并项）求和

典型例题

例题1．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知数列的前项和为，则__________．

例题2．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前2023项和.

例题3．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列中，，当时，

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设，数列的前项和为，求

例题4．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)设，求．

练透核心考点

1．（2023·重庆·校联考三模）已知数列满足：，，

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，求.

2．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列的前项和为，公比，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和为.

3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，分别为等差数列，等比数列，且，，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.