第07讲 拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇 (高频精讲）（解析版）_1.docx

第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲）

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高频考点一遍过 2

高频考点一：中线长问题 2

方法一：中线向量形式 2

方法二：中线分第三条边所成两角互余 8

高频考点二：已知角平分线问题 12

方法一：内角平分线定理 12

方法二：等面积法（核心方法） 17

方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 26

温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头

第一部分：知识点必背

1、中线：

在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，

1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）

核心技巧：

结论：

1.2角形式：

核心技巧：

在中有：;

在中有：;

2、角平分线

如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，

2.1内角平分线定理：

核心技巧：或

2.2等面积法

核心技巧

2.3角形式：

核心技巧：

在中有：;

在中有：;

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：中线长问题

方法一：中线向量形式

典型例题

例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．

(1)求的面积；

(2)求的边上的中线的长．

【答案】(1)(2)．

【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，

化简得：．

又因为：

，所以，所以，

所以△ACD的面积为．

（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，

所以，

所以，

所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．

例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：

(1)求角的大小；

(2)求边中线长的最小值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），由余弦定理可得，即，

由正弦定理可得，

，.

，即，又，所以.

（2）由（1）知，，的面积为，

所以，解得.

由平面向量可知，所以

，

当且仅当时取等号，

故边中线的最小值为.

例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.

(1)求；

(2)若的面积为，求边上的中线的长.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，所以，所以，即，

所以，

由余弦定理及得：，

又，所以，即，所以；

（2）由，所以，由（1），

所以，因为为边上的中线，所以，

所以

，所以，所以边上的中线的长为：.

例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．

(1)求函数的单调递减区间；

(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【详解】（1），

令，得，

即函数的单调递减区间为．

（2）由（1）知得，

所以，即，

又，得，

而由是边上的中线可得，

故，

所以，

所以当且仅当时等号成立，

所以的面积为．

所以的面积的最大值为．

练透核心考点

1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.

(1)求；

(2)若，求的中线的最小值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为

所以，

由正弦定理可得，所以，因为，

则；

（2）由题意，

则，

则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；

综上，的最小值为.

2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．

请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：

①外接圆半径；

②；

③．

(1)求锐角；

(2)求的BC边上的中线的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【详解】（1）解：若选①，由，解得，

又A为锐角，

故；

若选②，由正弦定理得，

即，

又，

所以，

则，

又A为锐角，

故；

若选③，由，

则有，

即，

又A为锐角，所以，

所以，故；

综上所述；

（2）解：由余弦定理可得，

所以，

因为，当且仅当时等号成立，

所以．

设BC的中点为M，则，

等式两边平方可得：

，

当且仅当时等号成立，

所以，

即BC边上的中线的最大值为．

3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，边上的中线，求的面积．

【答案】(1)

(2)6

【详解】（1）由题意利用正弦定理可得．

．

，

，即．

（2）．

由中线，

得

，

．

方法二：中线分第三条边所成两角互余

核心技巧：

典型例题

例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（????）

A．3 B． C．1或2 D．2或3

【答案】C

【详解】由得，∴，∵，∴，即.

在中，由余弦定理可得，整理得，