第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精讲）（原卷版）_1.docx

第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 1

第二部分：高频考点一遍过 2

高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离 2

高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离 6

高频考点三：立体几何中的折叠问题 10

高频考点四：立体几何综合问题 15

温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头

第一部分：知识点必背

知识点一：点到直线的距离

已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：

知识点二：点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.

第二部分：高频考点一遍过

高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离

典型例题

例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（????）

A．3 B． C． D．

例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．

例题3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．

例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．

(1)证明：平面平面；

(2)设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线距离．

练透核心考点

1．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．

(1)求证：；

(2)若点到直线的距离为，求的值．

2．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.

(1)若平面平面，求证：；

(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.

3．（2023秋·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.

(1)求与所成角的余弦值；

(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.

4．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______.

高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离

典型例题

例题1．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（??????）

??

A． B． C． D．

例题2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离等于_____.

例题3．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.

??

(1)证明：；

(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.

例题4．（2023·北京通州·统考三模）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

??

(1)证明：.

(2)若是等腰直角三角形，，，点在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点到面的距离.

例题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．

(1)若为线段上的一个动点，证明：∥平面

(2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．

练透核心考点

1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

2．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

??

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；

(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．

??

3．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.

??

(1)设平面与平面相交于直线，求证：；

(2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；

(3)当为线段的中点时，求点到平面的距离．

4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.

??

(1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在