第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线(分层精练）（解析版）_1.docx

第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023·上海·高二专题练习）直线与椭圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【详解】，在椭圆内，

恒过点，直线与椭圆相交.

故选：A.

2．（2023·上海·高二专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为，联立，得①.

当，即时，①式只有一个解；

当时，则，解得；

综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.

故选：D.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题意得：，准线方程为，

设，则中点的横坐标为，

故，解得：，

由抛物线的焦半径可知：.

故选：B

4．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【详解】设点的横坐标分别为，则.

由过抛物线的焦点的弦长公式知：.

故选：C

5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，、，，

，．

又，，

，

即．

又，均为正数，．

，即．

由抛物线对称性，知点、关于轴对称．

，则．

，将其代入抛物线方程中得，解得，

等边三角形的边长为，所以面积为，

故选：A

6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设,则，相减得，

由于,所以，

所以,将其代入中可得，

所以,故,

故选：C

7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得．

因为，

所以．又因为，所以，

故双曲线的方程为，

所以两条渐近线的方程为．

设，则，

故．

不妨设，则，

所以，

所以．

故选：B．

8．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意，

在双曲线（，）中，离心率，

∵，解得：，

∴，

是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，

设，

∴，解得：，

∵直线的斜率分别为，，且，

∴，

∴

故选：B.

??

二、多选题

9．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；

所以抛物线方程为，则焦点，

设直线，则，消去整理得，

则，所以，，

则，

，

所以，故B正确；

所以，，所以，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

10．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）抛物线焦点为，且过点，直线，分别交于另一点和，，则下列说法正确的是（????）

A． B．直线CD过定点

C．上任意一点到和的距离相等 D．

【答案】CD

【详解】抛物线过点，所以，，故D正确；

所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；

设，，设，则，

所以的方程为，即，

联立，得，

当时，，得，

代换，得到，

所以，故A错误；

直线CD：，即，不过定点，故B错误.

故选：CD

三、填空题

11．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为.

【答案】

【详解】由题意，直线的斜率存在，

设直线的方程为，

因为点，的横坐标恰好是方程的根，

所以，，

联立，消得，

则，，

所以，，所以，，经检验，符合题意，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

12．（2023·全国·高三对口高考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为其过点且斜率为1的弦，则的值为．

【答案】/

【详解】由知，，

，则，

，

则所在直线方程为，

即，

联立，得，

设，

则，，

，

.

故答案为：

四、解答题

13．（2023·四川绵阳·绵