第09讲 立体几何与空间向量 章节总结（精讲）（解析版）_1.docx

第09讲立体几何与空间向量章节总结

目录

TOC\o1-3\h\u第一部分：高考真题回归 1

第二部分：高频考点一遍过 9

高频考点一：空间位置关系证明的传统法与向量法 9

角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系 9

角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系 14

高频考点二：空间角的向量求法 27

角度1：用传统法求异面直线所成角 27

角度2：用向量法求异面直线所成角 29

角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数）） 31

角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数）） 37

高频考点三：距离问题 65

角度1：点到直线的距离 65

角度2：点到平面的距离（等体积法） 66

角度3：点到平面的距离（向量法） 69

高频考点四：立体几何折叠问题 79

第一部分：高考真题回归

1．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，

??

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，

所以.

因为平面，平面，所以，

因为，平面，，

所以平面，因为平面，所以，.

同理：，又，故四边形是矩形，

所以由得，所以，所以，

所以在直角三角形中，

在直角三角形中，，，

又因为，

所有棱长之和为.

故选：C

2．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，

，，由的面积为，得，

解得，于是，

所以圆锥的体积.

故选：B

3．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】法一：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，则，

又，，所以，则，

又，，所以，则，

在中，，

则由余弦定理可得，

故，则，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

法二：

连结交于，连结，则为的中点，如图，

因为底面为正方形，，所以，

在中，，

则由余弦定理可得，故，

所以，则，

不妨记，

因为，所以，

即，

则，整理得①，

又在中，，即，则②，

两式相加得，故，

故在中，，

所以，

又，所以，

所以的面积为.

故选：C.

4．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）因为平面平面，

所以，同理，

所以为直角三角形，

又因为，，

所以，则为直角三角形，故，

又因为，，

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，则，

以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

??

则，

所以，

设平面的法向量为，则，即

令，则，所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以，

所以，

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

5．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

??

(1)证明：平面平面；

(2)设，求四棱锥的高．

【答案】(1)证明见解析.

(2)

【详解】（1）证明：因为平面，平面,

所以,

又因为，即，

平面，,

所以平面，

又因为平面,

所以平面平面.

（2）如图，

??

过点作，垂足为.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

所以四棱锥的高为.

因为平面，平面,

所以,,

又因为，为公共边，

所以与全等，所以.

设，则，

所以为中点，,

又因为,所以,

即，解得，

所以，

所以四棱锥的高为．

6．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

????

(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，

因为，，所以与均为等边三角形，

，从而②，由①②，，平面，

所以，平面，而平面，所以．

（2）不妨设，，．

，，又，平面平面．

以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

??

设，