第10练 利用导数解决实际应用问题【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之导数篇（解析版）_1.docxVIP

第10练利用导数解决实际应用问题

【基础练】

1．（2004·安徽·高考真题）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：，求该商品零售价定为多少元时利润y最大，并求出利润y的最大值．

2．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝

（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）

3．（2007·重庆·高考真题）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

4．（2022秋·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期中）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.

5．（2019·浙江·高三专题练习）如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱.

（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；

（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值.

6．（2004·重庆·高考真题）某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量x吨与每吨产品的价格（元）之间的关系为，且生产吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）

7．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成，它的轴截面如图所示，已知半球的直径是，圆柱筒高，为增强该“浮球”的牢固性，给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡，防压卡由金属材料杆,,,,,及焊接而成，其中,分别是圆柱上下底面的圆心，，，，均在“浮球”的内壁上，AC，BD通过“浮球”中心，且、均与圆柱的底面垂直．

（1）设与圆柱底面所成的角为，试用表示出防压卡中四边形的面积，并写出的取值范围；

（2）研究表明，四边形的面积越大，“浮球”防压性越强，求四边形面积取最大值时，点到圆柱上底面的距离．

8．（2020·江苏苏州·校联考三模）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案①多边形为直角三角形（），如图1所示，其中；

方案②多边形为等腰梯形（），如图2所示，其中．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

9．（2017秋·湖南邵阳·高三洞口县第一中学阶段练习）已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线的方程；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

10．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入(百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数(百万元)来计算；每投入x(百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数(百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大．(参考数据：≈1.41，≈1.73)

【提升练】

11．（2016·黑龙江大庆·统考一模）已知函数

（1）当且时，证明：；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，证明：．

12．（2015·江苏南通·统考一模）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．

13．（2023·全国·高三专题练习）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的