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第21练面面角向量求法及其他应用
【基础练】
1.(2023秋·高二单元测试)在斜三棱柱中,是等腰直角三角形,,平面底面,.
(1)证明:;
(2)求二面角的正弦值.
2.(2023·河北石家庄·统考模拟预测)如图,且,,且,且,平面,.
(1)求平面与平面的夹角;
(2)求直线到平面的距离.
3.(2023春·浙江宁波·高二统考期末)在图1中,四边形为梯形,,,,,过点A作,交于.现沿将折起,使得,得到如图2所示的四棱锥,在图2中解答下列两问:
(1)求四棱锥的体积;
(2)若F在侧棱上,,求证:二面角为直二面角.
4.(2023·全国·高三专题练习)在中,,,分别上的点且,,将沿折起到的位置,使.
(1)求证:;
(2)是否在射线上存在点,使平面与平面所成角的余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.
5.(2023·北京·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,AC交BD于点O,,.点E是棱PA的中点,连接OE,OP.
(1)求证:平面PCD;
(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求线段OP的长.
条件①:平面平面;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
6.(2023·全国·高二专题练习)如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,为的中点,.
(1)证明:平面平面.
(2)若,且二面角的大小为,求四棱锥的体积.
7.(2023·四川·校联考模拟预测)如图,在四棱锥中,平面平面,点在棱上,设.
(1)证明:.
(2)设二面角的平面角为,且,求的值.
8.(2023·全国·高二假期作业)如图,正三棱柱中,分别是棱上的点,.
??
(1)证明:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
9.(2023·全国·高三专题练习)如图,在正三棱柱中,底面边长为2,,D为的中点,点E在棱上,且,点P为线段上的动点.
(1)求证:;
(2)若直线与所成角的余弦值为,求平面和平面的夹角的余弦值.
10.(2023春·广东深圳·高二校考期中)如图,直三棱柱的侧面为正方形,,E,F分别为,的中点,.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【提升练】
11.(2023秋·河南商丘·高二宁陵县高级中学校考开学考试)在三棱柱中,,,.
(1)证明:;
(2)若,,求平面与平面夹角的余弦值.
12.(2023秋·新疆·高二校考期末)如图,在四棱锥中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AD⊥DC,ABDC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角P-AC-E的余弦值.
13.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,为等边三角形,为的中点,,平面平面.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,,求平面与平面夹角的余弦值.
14.(2023·广东佛山·校联考模拟预测)如图,在三棱锥中,侧面底面是边长为2的正三角形,分别是的中点,记平面与平面的交线.
(1)证明:直线平面.
(2)若在直线上且为锐角,当时,求二面角的余弦值.
15.(2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模)如图(1),在中,,将沿折起,使得点到达点处,如图(2).
(1)若,求证:;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
16.(2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测)如图,在三棱锥中,,O为AC的中点.
(1)证明:⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且二面角为,求的值.
17.(2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测)如图,四棱锥中,底面为矩形且垂直于侧面,为的中点,,.
(1)证明:平面;
(2)侧棱上是否存在点E,使得平面与平面夹角的余弦值为,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
18.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模)如图,在四棱锥中,平面ABCD,,且,,,.
(1)求证:;
(2)在线段PD上是否存在一点M,使二面角的余弦值为?若存在,求三棱锥体积;若不存在,请说明理由.
【能力练】
19.(2023·北京·高三专题练习)如图:在正方体中,为中点,与平面交于点.
(1)求证:为的中点;
(2)点是棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.
20.(2023·北京·统考高考真题)如图,在三棱锥中,平面,.
??
(1)求证:平面PAB;
(2)求二面角的大小.
21.(2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试)已知四棱锥的底面为直角梯形,平面,.
(1)若点是棱上的动点请判断下列条件:①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为;②中哪一个条件可以推断出平面(无需说明理由),并用你的选择证明该结论;
(2)若点为
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