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第24练椭圆的弦长、焦点弦
【基础练】
1.(2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆E:的离心率为,且过点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点,直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A,B两点,求AB的长度.
2.(2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,,原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)平面上点B满足,过与平行的直线交于两点,若,求椭圆的方程.
3.(2022·全国·高一专题练习)点是曲线上任一点,已知曲线在点处的切线方程为.如图,点P是椭圆上的动点,过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B,过A、B作圆O的切线交于点M.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求面积的最大值.
4.(2022秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习)已知椭圆,左焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线和椭圆交于两点,设点为线段的中点,为坐标原点,求线段长度的取值范围.
5.(2021春·河北衡水·高二校考期中)已知椭圆:的左、右焦点分别是,,上、下顶点分别是,,离心率,短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线与椭圆交于不同的两点,,若,试求内切圆的面积.
6.(2021·全国·高三专题练习)已知点B是圆上的任意一点,点,线段的垂直平分线交于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)直线与E交于点M,N,且,求m的值.
7.(2021秋·高二单元测试)已知椭圆,离心率为,点在椭圆C上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,,过直线交椭圆于、两点,且直线倾斜角为,求的面积.
8.(2021秋·陕西渭南·高二统考期末)已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别为、.设是椭圆上一点,满足⊥轴,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于,两点,求的面积.
9.(2021秋·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考阶段练习)已知椭圆C:的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆C与A、B两点,△AF2B的周长为,且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当AB的中点坐标为时,求△AF2B的面积.
10.(2021·福建宁德·统考模拟预测)已知椭圆E:的右焦点是,点P是椭圆E上一点,且的最大值为.
(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆右顶点A的直线l与椭圆交于B,与y轴交于C.设和的面积分别为和,求的取值范围.
【提升练】
11.(2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测)椭圆的左顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知经过点的直线交椭圆于两点,是直线上一点.若四边形为平行四边形,求直线的方程.
12.(2023·全国·高三专题练习)已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是,点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)若点在上,且与交于点,点在椭圆上,证明:的面积为定值.
13.(2023春·四川巴中·高二统考期中)已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l与圆相切,与椭圆交于不同的两点,求的面积的最大值.
14.(2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末)已知椭圆C:的左顶点为A,P为C上一点,O为原点,,,的面积为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设B为C的右顶点,过点且斜率不为0的直线l与C交于M,N两点,证明:.
15.(2023·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点,椭圆的左,右焦点分别为,,A为椭圆C的上顶点,为等腰直角三角形,其面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l交椭圆C于P,Q两点,点W在过原点且与l平行的直线上,记直线WP,WQ的斜率分别为,,的面积为S.从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立.
①;②;③W为原点O.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
16.(2023春·广东茂名·高二茂名市第一中学校考期中)已知椭圆过点.
(1)若椭圆E的离心率,求b的取值范围;
(2)已知椭圆E的离心率,M,N为椭圆E上不同两点,若经过M,N两点的直线与圆相切,求线段的最大值.
17.(2023·四川南充·阆中中学校考二模)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
18.(2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习)已知椭圆的左?右焦点分别为,焦距为,过的直线与椭圆相交于两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的
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