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《排列数》教学设计

一、问题引入

问题1:在之前的学习中,我们是根据计数原理和列举的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加,这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式,从而能便捷地求出排列的个数?

师生活动:

教师让学生阅读教材,获得排列数的概念与排列数的表示.

把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.

教师带领学生回忆上一节中的问题1与问题2.

师:你能用排列数符号表示上一节问题1、问题2的排列数吗?

生:问题1可表示为,问题2可表示为.

师:你能说明排列数与排列有何区别吗?

教师指定学生回答,并评价指导.

生:排列是指“从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成的一列”,它不是一个数;而排列数则是指“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”,这是一个自然数.例如,从中任取2个的排列有,其中每一个都叫做一个排列,共有6个,即从中任取2个的排列数为6.

师:请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数,并用排列数符号表示.

生:问题1排列的个数为,问题2排列的个数为.

师:请你思考一下,排列数的符号与计算结果之间有什么联系?

设计意图:给出排列数的定义及符号表示,结合上一节课的问题,让学生把排列数的符号与排列数联系起来,为下面推导排列数公式奠定基础.

二、公式推导

问题2:我们能否找到计算的公式呢?

追问(1):我们已经知道,节问题1的排列数,问题2的排列数,那么如何求排列数?

师生活动:

教师先引导学生用下面的例子思考:如图,假定有排好顺序的两个空位,从个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就得到一个排列;反之,任何一种排列总可以由这种填法得到.因此,所有不同填法的种数就是排列数.

完成“填空”可以分两步完成:

第1步,填第1个位置的元素,可以从这个不同元素中任选1个,有种选法;

第2步,填第2个位置的元素,可以从剩下的个元素中任选1个,有种选法.

根据分步乘法计数原理,2个空位的填法种数为.

追问(2):如何求排列数?

求排列数可以按依次填3个空位来考虑,有.

追问(3):你能类比求排列数和的方法,求排列数吗?

师生活动:

教师引导学生思考:假定有排好顺序的个空位,从个不同元素中取出个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列.因此,所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算个空位的填法种数,得到排列数公式.这里,,并且.

设计意图:通过具体情境,引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式,采用从特殊到一般的思想方法,让学生体会归纳法在推导公式中的应用.

三、公式辨析

问题同学们观察分析排列数公式有什么特点?在使用排列数公式时应需注意什么问题?

师生活动:

师:请你观察一下公式的右边,共有几个因数?各因数的大小有什么规律?

生:右边第一个因数是,后面每个因数都比它前面的一个因数少1,最后一个因数是,共有个连续的正整数相乘.

师:请你比较一下与的大小关系,并说明公式右边的最后一个因数有什么特点?

生:,最后一个因数是“下角码”与“上角码”的差加.

教师让学生利用排列数公式计算,并由此给出阶乘的概念.

特别地,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.这时,排列数公式中,即有.

将个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到的连乘积.正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.于是,个元素的全排列数公式可以写成!.规定.

设计意图:通过引导学生分析排列数公式的特点,让学生便于记忆公式.通过计算一些特殊的排列数,引入全排列的概念及阶乘的定义.

四、公式应用

例1计算:(1);(2);(3);(4).

师生活动:

找两名学生板演,其他学生独立完成.

解:根据排列数公式,可得

(1);

(2);

(3);

(4)!.

提问:

(1)利用排列数公式求排列数时,和的值分别是多少?右边的因数分别有几个?最后一个因数是几?

（2）如何求?

追问:观察结果,从中发现它们的共性了吗?能否将其进行推广?

针对上述问题,学生小组讨论后,得到公式,并进行证明.

设计意图:通过让学生运用排列数公式计算排列数,加深对公式的理解与记忆,并由第(3)小题引导学生得出排列数的阶乘公式.

巩固练习

1.先计算,然后用计算工具检验:

(1);

(2);

(3).

2.求证:

(1)；(2).

答案:

1.(1)11880(2)0(3)6

2.(1).

(2).

设计意图:进一步加深对公式的理解,并体会灵活选择公式