第29练 双曲线中的参数范围或最值【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之解析几何篇（原卷版）_1.docxVIP

第29练双曲线中的参数范围或最值

【基础练】

1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.

2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．

3．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.

（1）求双曲线C的方程；

（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）求M点的坐标，使得的面积最小.

4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.

(1)求双曲线的标准方程.

(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.

5．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.

（1）求曲线的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；

（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.

6．（2023秋·高二课时练习）中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.

??

(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；

(2)设定点A坐标为，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值.

7．（2021·江苏·高二专题练习）已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.

（1）若直线过，且，求直线的斜率.

（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.

8．（2022·上海·统考模拟预测）已知点、依次为双曲线（，）的左、右焦点，且，，．

（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离；

（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围．

9．（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知双曲线，其右顶点为

求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；

设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值

10．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于，求m的取值范围．

【提升练】

11．（2023秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.

(1)求C的方程；

(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.

12．（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．

13．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．

14．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，