重难点10空间距离与体积问题（2种考法）（解析版）_1.docxVIP

重难点10空间距离与体积问题（2种考法）

【目录】

考法1：距离问题

考法2：体积问题

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

一.求点到平面的距离的四步骤

二、常见几何体体积的四种求法

1.直接法求体积（也称公式法）

直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。

可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到

2.等体积法求三棱锥体积

1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。

3.多面体割补法求体积

1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，

再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；

【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥

多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”

2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；

常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；

（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；

（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；

（4）将台体补成锥体等等。

【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。

4.两部分体积比例法（转移法）

利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。

【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。

三、题型方法考法

三、题型方法

1．（2023?新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．

（1）证明：EF∥平面PAD；

（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离．

【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可得证；

（2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离．

【解答】解：（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，

因为G，F分别是AB，PB的中点，所以GF∥AP．

又FG?平面PAD，AP?平面PAD，

所以FG∥平面PAD．

因为E是CD的中点，所以ABCD是平行四边形，

同理可得，EG∥平面PAD．

因为FG∩EG＝G，EG，FG?平面EFG，所以平面EFG∥平面PAD．

因为EF?平面EFG，所以EF∥平面PAD．

（2）因为E是CD的中点，所以△BDE的面积是平行四边形ABCD面积的．

因为F是PB的中点，所以三棱锥F﹣BDE的高是四棱锥P﹣ABCD的高的．

因为四棱锥P﹣ABCD的体积为32，

所以三棱锥F﹣BDE的体积为．

设B到平面DEF的距离为d，

因为△DEF的面积为4，所以，得d＝3，

即B到平面DEF的距离为3．

【点评】本题考查线面平行的判定以及点到平面的距离计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

2．（2023?陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）求点F到平面EDB的距离．

【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，利用线面平行的判断，即可证明结论；

（2）根据垂直关系以及相似求解长度，利用等体积法求解，即可得出答案．

【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，连接EG，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴G是AC的中点，

又点E是棱PC的中点，

∴EG是△PAC的中位线，即PA∥EG，

又PA?平面EDB，EG?平面EDB，

∴PA∥平面EDB；

（2）∵PD⊥平面ABCD，DC，BC?平面ABCD，

∴PD⊥DC，PD⊥BC，

又BC⊥CD，CD?PD＝D，CD，PD?平面PCD，

∴BC⊥平面PCD，

又PC，DE?平面PCD，则PC⊥BC，DE⊥BC，

在△PDC中，PD⊥DC，PD＝CD＝1，E是PC的中点，

∴，DE⊥PC，

又DE⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，

∴DE⊥平面PBC，∴DE是三棱锥D﹣BEF的高，

在△PBC中，PC⊥BC，，BC＝1，

∴，

∴Rt△BCP～Rt△EFP，

∴，

则，，，

，

在△BDE中，，，，

∴由勾股定理的逆定理得BD2＝DE2+BE2，即DE⊥BE，

∴，

设点F到平面EDB的距离为h，

∴，解得，

即点F到平面EDB的距离为．

【点评】本题考查直线与平面平行和点到平面的距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

3．（2023?贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边