8.6　8.6.1　直线与直线垂直.pptx

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直;课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．

教学重点：异面直线所成的角的求法．

教学难点：找异面直线所成的角．

核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升逻辑推理素养.;1;知识点一空间中两条直线的位置关系;知识点二直线与直线垂直;1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．()

(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.()

(3)若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110°.()

(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．();2．做一做

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)AC和DD1所成的角是__________；

(2)AC和D1C1所成的角是__________；

(3)AC和B1D1所成的角是__________；

(4)AC和A1B所成的角是________.;2;例1如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

求：(1)BE与CG所成的角的大小；

(2)FO与BD所成的角的大小．;解;求异面直线所成的角的步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°θ≤90°，则θ为所求；若90°θ180°，则180°－θ为所求．

;[跟踪训练1](1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________.;答案;解;例2已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1.;证明;证明空间的两条直线垂直的方法

(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直．

(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理逆定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．;证明;例3如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度．;解;异面直线的应用

当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．;答案;3;1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有()

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条;2．(2023·黑龙江哈尔滨第三中学高一月考)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，点M为A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为();解析;3.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论正确的是()

A．AB⊥EF

B．AB与CM所成的角为60°

C．EF与MN是异面直线

D．MN∥CD;解析;答案;5.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.

(1)求A1C1与B1C所成的角的大小；

(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.;解;4;一、选择题

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()

A．一定平行 B．一定垂直

C．一定是异面直线 D．一定相交;2.(2023·云南玉溪高一专题检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①DA1与BC1平行；

②DD1与BC1垂直；

③A1B1与BC1垂直．

以上三个命题中，正确命题的序号是()

A．①② B．②③

C．③ D．①②③;解析;3.如图，P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ与BC1所成的角为()

A．30° B．45°

C．60° D．90°;解析;4.(2023·陕西安康中学高一期末)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，且PB＝PC＝PD＝4，E为AD的中点，∠BAD＝60°，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为();解析;5．(多选)在空间四边形ABCD中，AB