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证明：对于可展曲面有，取腰曲线为导线，（1）当，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为（2），由于，则三向量共面，且（3）为常向量，所有直母线平行，为柱面。2.命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。3.单参数曲面族的包络给出一个单参数曲面族…………（1）对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶连续偏导数。（1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1）中的一个曲面上的点，而且在S与的公共点它们有相同的切平面；反过来，对于族中的每一曲面，在曲面S上有一点P，使和S在P有相同的切平面，则称S为单参数曲面族的包络。（2）包络面的方程现在假定曲面族{}的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数来确定，所以包络面S上每一点对应于的一个确定的值，因此为S上点的坐标的函数，即代入（1）得…………(2)对于S上的点，上式恒成立。其次，在包络面S上任取一条曲线因为（c）上的点的坐标满足方程，所以对t求导得：……（3）在（c）上取一点，由于S和在P有相同的切平面，所以（c）在P的切线与在P的法线垂直，而切向量平行于对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有，否则，因此，即由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组……（4）消去参数得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面称为曲面族的判别曲面。若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例：例题：求平面族的包络面方程。下面说明判别曲面就是S。首先可以这样理解：对每一固定的，方程组（4）代表曲面和曲面的交线，而判别曲面是这些交线所产生的，因此，上的每一点决定一个值，而点的坐标以及所对应的值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的值适合（4），因此S属于。(3)特征线包络S与族中的曲面相切的曲线称为特征线，因而当固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲面沿特征线切于包络。再证属于S。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对的某个值满足方程在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：代入（4）式第一式中，然后关于t求导，则有但由（4）第二式，所以即P点的法线和上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意性，与在P点相切，这就说明了的点也是的点。因此，属于S。所以（4）命题2:一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络。证明：充分性：设单参数平面族为