2025版高考数学一轮复习核心素养测评三十6.2基本不等式文含解析北师大版.docVIP

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核心素养测评三十基本不等式

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是 ()

A.a+b≥2ab B.1a+1b

C.ba+ab≥2 D.a2+b

【解析】选C.因为ab0,所以ba0,ab0,所以ba+ab≥2ba

2.(2024·宿州模拟)已知函数y=x-4+9x+1(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b

A.9 B.7 C.5 D.3

【解析】选B.因为x-1,所以x+10,

所以y=x-4+9x+1=x+1+9

2x+1·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9

所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.

3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为 ()

A.1 B.2 C.22

【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,

所以2x+y≥22xy=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为

4.(2024·温州模拟)若ab0,则a2+2

A.22 B.2 C.3 D.2

【解析】选A.因为ab0,所以a2+2b2

≥2ab·2ba=22,当且仅当ab=2b

5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为 ()

A.32 B.2 C.94

【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤a+1+b+122=322=

6.(2024·泉州模拟)已知a0,b0,4a+b=2,则1a+1b

A.4 B.92 C.5

【解析】选B.因为a0,b0,4a+b=2,

所以1a+1b=12

125+ba+

当且仅当ba=4ab,即a=13

7.正数a,b满意1a+9b=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对随意实数x恒成立,则实数m的取值范围是

A.[3,+∞) B.(-∞,3]

C.(-∞,6] D.[6,+∞)

【解析】选D.因为a0,b0,1a+9

所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab≥10+29=16,当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时,

即x2-4x-2≥-m对随意实数x恒成立,

令f(x)=x2-4x-2,

则f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,

所以f(x)的最小值为-6,

所以-6≥-m,即m≥6.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.?

【解析】每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x0,故yx≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大

答案:58

9.已知x,y为正实数,则2xx+2y+

【解析】因为x,y为正实数,则2xx

=2xx+2y+yx

令t=yx,则t0,所以2xx+2y+x+yx=21+2t+t+1=112+t+t+12

所以2xx+2y+

答案:5

10.(2024·阳泉模拟)函数y=x2x-1(x1)的最大值为

【解析】函数y=x2x

=x+1+1x-1=(x-1)+1

因为(1-x)+11-x≥2,当且仅当x=0时

所以(x-1)+1x-1≤-2,当且仅当x=0时

故函数y=x2x

答案:0

(15分钟25分)

1.(5分)设a0,b0,则下列不等式中不成立的是 ()

A.a+b+1ab≥2

B.2aba

C.a2+

D.(a+b)1a+

【解析】选B.因为a0,b0,

所以a+b+1ab≥2ab+1ab≥22,当且仅当a=b且2ab=1ab,即a=b=22时取等号,

因为a+b≥2ab0,所以2aba+

当且仅当a=b时取等号,

所以2aba+b≥ab不肯定成立,

因为2aba+b≤2ab2ab

a2+

=a+b-2aba+b≥2ab-ab,

所以a2+b2a+b

故C肯定成立,因为(a+b)1a+1b=2+b

当且仅当a=b时取等号,故D肯定成立.

2.(5分)当0m12时,若1m+21-2m≥k2-2k

A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2] D.[-2,4]

【解析】选D.因为0m12,所以12×2m×(1-2m)≤12×2m+(1-2m)22=18,当且仅当2m=1-2m,即m=14时取等号,所以1m+21-2m=1m(1-2m)≥

3.(5分)以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的全部“望圆”中半径最小值为