历史上的三次数学危机.pptVIP

历史上的三次数学危机;历史上，数学的发展有顺利也有曲

折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意

味着挑战，危机的解决就意味着进步。所

以，危机往往是数学发展的先导。数学发

展史上有三次数学危机。每一次数学危

机，都是数学的基本部分受到质疑。实际

上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上

的三次思想解放，大大推动了数学科学的

发展。

;一、第一次数学危机;这一危机发生在公元前5世纪，危机

来源于：当时认为所有的数都能表示为整

数比，但突然发现不能表为整数比。

其实质是：是无理数，全体整数之比构

成的是有理数系，有理数系需要扩充，要

添加无理数。

;当时古希腊的欧多克索斯部分地解决

了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关

于“两个量之比”的新说法，回避了是无

理数的实质，用几何的方法去处理不可公度

比。这样做的结果，使几何的基础牢靠

了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里

得的《几何原本》中也采用了这一说法，

以致在以后的近二千年中，几何变成了几

乎是全部严密数学的基础。

但是彻底解决这一危机是在19世纪，

依赖实数理论的建立。;二、第二次数学危机;1．危机的引发

1）牛顿的“无穷小”

牛顿的微积分是一项划时代的科学成

就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻

辑上的问题。我们来看一个例子。

微积分的一个来源，是想求运动物体

在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只

能求一段时间内的平均速度，无法求某一

时刻的瞬时速度。;牛顿的思路是：让时间从到，

这段时间记作，而这段时间里

物体走过的距离记作。比值便是

到这段时间内物体的平均速度。牛顿

设想：越小，这个平均速度应当越接近

物体在时刻的瞬时速度。当越来越

小（当然也越来越小），最后成为无

穷小，将要变成0而还不是0的时候，两个

无穷小之比,就是所要求的瞬时速度。;例如，设自由落体在时间下落的距

离为，有公式，其中是固

定的重力加速度??我们要求物体在的

瞬时速度，先求。

∴（*）;当变成无穷小时，右端的也变

成无穷小，因而上式右端就可以认为是，

这就是物体在时的瞬时速度，它是两个无

穷小之比。

牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去

无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭

到指责。;2）贝克莱的发难

英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻

击牛顿的理论。

贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，

究竟是不是0？;①如果是0，（*）式左端当和变

成无穷小后分母为0，就没有意义了。

如果不是0，（*）式右端的就不能

任意去掉。

②在推出（*）式时，假定了才能做

除法，所以（*）式的成立是以为前提

的。那么，为什么又可以让而求得瞬时

速度呢？

③因此，牛顿的这一套运算方法，就如

同从出发，两端同除以0，得出

5=3一样的荒谬。;贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变

成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是

0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。

这就是著名的“??克莱悖论”。

对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家

提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学

家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。;3）实践是检验真理的唯一标准

应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。

“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基

础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上

严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，

只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结

果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓

舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨

大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。

这表明，在大多数人的脑海里，“实践是