数学学案：第三讲一平行射影.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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一平行射影

1．掌握正射影的概念，理解平行射影的概念，能确定平行射影的形状．

2．掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面．

1．正射影

（1）定义:给定一个平面α，从一点A作平面α的______,垂足为点A′.称_____为点A在平面α上的正射影．一个图形上_____在平面α上的正射影所组成的____，称为这个图形在平面α上的正射影．

（2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影显然是______，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之____；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是______,其长度等于圆的直径．

一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置关系有关，如一条直线，当它和平面α垂直时,它在平面α上的正射影是一个点;当它和平面α斜交时，它在平面α上的正射影是一条直线；它和平面α平行时，它在平面α上的正射影是一条与原直线平行的直线．

【做一做1】△ABC在平面α上的正射影是()

A．三角形B．直线

C．线段D．三角形或线段

2．平行射影

定义:设直线l与平面α______(如图),称直线l的方向为投影方向．过点A作____于l的直线(称为投影线）必交α于一点A′,称____为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上______在平面α上的平行射影所组成的____,叫做这个图形的平行射影．

显然,正射影是______的特例．

平行射影的性质：

（1)直线的平行射影是直线或一个点，线段的平行射影是线段或一个点；

（2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点;

(3）平行于投影面的线段，它的平行射影与这条线段平行且等长;

（4）与投影面平行的平面图形，它的平行射影与这个图形全等；

（5）在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的比等于这两条线段的比．

【做一做2】两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是(）

A．一条直线和直线外一个点

B．两条相交直线

C．两条平行直线

D．以上都有可能

3．椭圆

（1）定义：平面上到两个定点的距离之____等于____的点的轨迹叫做椭圆．

（2)抽象概括：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两个底面______时,截面是一个圆；当平面与圆柱的两个底面______时，截面是一个椭圆（如图）．

【做一做3】平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到A，B的距离之和为常数m，若动点P的轨迹是椭圆，则m的取值范围是（）

A．(0，5)B．（5,＋∞）

C．(0，＋∞）D．R

答案：

1．（1）垂线点A′各点图形(2）一个圆椭圆一条线段

【做一做1】D当△ABC所在平面垂直于α时，△ABC在α上的正射影是一条线段，否则是三角形．

2．相交平行点A′各点图形平行射影

【做一做2】D当m和n中有一条直线与投影方向平行时，它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线．

3．(1）和定长(2)平行不平行

【做一做3】B当m＜5时，不表示任何图形；当m＝5时，轨迹是线段AB；当m＞5时，轨迹是椭圆．

1．平行射影与正射影的区别与联系

剖析：对于平行射影，取不同的投影方向，同一个图形的平行射影所组成的图形也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种特殊情况．因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意这二者的区别与联系,从而才能完整、全面地看待问题．

例如，如下图所示，直线l与平面α所成的角是45°，交点为A．在l上取不同于A的另一点B，过点B作BC⊥α于C．则l在平面α上的正射影是直线AC．当投影方向与l相同时，l在平面α上的平行射影是一个点，即点A，当投影方向垂直于平面α时，l在平面α上的平行射影是直线AC，此时平行射影和正射影是相同的．

2．点的射影与图形的射影间的区别与联系

剖析：图形是由点组成的集合，因而图形的射影是被投影图形上各点在平面α上的射影的集合，所以，要找到一个图形的射影只需找到组成这个图形的关键点的射影即可．

一平行射影

题型一对平行射影的理解

【例题1】下列说法正确的是（)

A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影

B．投影线与投影平面有且只有一个交点

C．投影方向可以平行于投影平面

D．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的

反思：图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确地理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．

题型二