3.1微积分公开课一等奖课件省赛课获奖课件.pptx

第三章导数的应用导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充足体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理涉及罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.§3.1中值定理定理1(罗尔定理)设函数?(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上持续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)?(a)=?(b);罗尔(Rolle)定理1

则在(a,b)内最少存在一点ξ,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义:函数?(x)在[a,b]上的图形是持续曲线弧AB,如果除端点外,到处含有不垂直于x轴的切线,且在闭区间[a,b]的两个端点a与b处的纵坐标相似,即?(a)=?(b);此时弦2

AB平行于x轴;则在弧AB上最少能找到一点C(ξ??(ξ)),使曲线在点C处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为boxABy=f(x)ay3

注1.罗尔定理中的三个条件是充足条件,缺一不可.否则结论不一定成立.(普通地说结论对的就需证明;否则,只须举反例即可)用下列各图形分别阐明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)°°ξξ?(x)在[a,b]内有间断点ξ?(x)在(a,b)内有不可导点ξ(尖点)注2.罗尔定理中的三个条件是充足而不必要的,如4

此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在和ξ=π,使oxy=f(x)y°?π5

例1.验证函数在区间[–1,2]上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值.注3.罗尔定理是定性的成果,它只必定了最少存在一种ξ,而不能必定ξ的个数,也没有指出实际计算ξ的值的办法.但对某些简朴情形,可从方程中解出ξ.6

解因?(x)是一初等函数,其定义域为则?(x)在[–1,2]上持续,在(–1,2)内存在,即?(x)在(–1,2）可导.则满足题意的点为而?(–1)=?(2)=0.即?(x)在[–1,2]上满足罗尔定理的条件.由7

例2.不求函数?(x)=(x–1)(x–2)(x–3)x的导数,阐明方程有几个实根?并指出它们所在区间.8

例3.设?(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导,且?(a)=?(b)=0.试证:在(a,b)内最少存在一点ξ,使得显然罗尔定理的端点条件规定太强了,将它去掉后就有证则F(x)在[a,b]上持续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内最少存在一点ξ,使得9

二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数?(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上持续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内最少存在一点ξ,使得oxyy=f(x)aAbBC或也称微分中值定理.几何意义:如果在持续曲线弧AB上,除端点外,到处含有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为则在弧AB上最少D10

oxyy=f(x)aAbB既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面运用分析的办法来构造辅助函数.要证故只须令F(x)=[?(b)–?(a)](x–a)–[?(x)–?(a)](b–a)C能找到一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.从而只需验证F(x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的持续性、可导性以及端点条件.注:在[a,b]内的任意闭区间上,拉格朗日中值定理均成立.D11

特别地,若x与x+Δx为区间(a,b)内的任意两点,则有由于当Δx为有限时,上式是Δy的精确体现式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分仅是Δy的近似体现式,因而有限增量公式在