期中测试卷参考解答高数下册midterm test.pdfVIP

期中测试卷参考解答

一、填空

2222

1.因为ln[1+x(x+y)]∼x(x+y)(x→0,y→0),所以

2222

ln[1+x(x+y)]x(x+y)

lim=lim=limx=0

x2+y2x2+y2

.设z=x+(y−1)arcan√x/y,则

∂z

dz(x,1)

dx

===1

∂x

dx

dx

(x,1)x=xx=x

22

.曲面z=4−x−y的在点M处的法向量平行于平面2x−3y−z+5=

0的法向量,即⃗n={z,z,−1}={−2x,−2y,−1}{2,−3,−1},而x=

xy

−1,y=3/2,z=4−(−1)2−(3/2)2=3/4,M的坐为(−1,3/2,3/4).

4.换积分次序:01f(x)dx=01dxx1ex/ydy=01dy0xex/ydx=

1

(e−1).

2

12

5.zx(−1,1)=−3,zy(−1,1)=3,⃗el=√5{2,1},而函数z=x−

2

⃗

xy+y在点(−1,1)处沿方向l={2,1}的方向导数为

∂z213

√√√

=−3×+3×=−

∂l

(−1,1)555

二、计算

1.设z=f(2x−y,ysinx),其中f(u,v)有连续的二阶偏导数,求z′′.

xy

解:zx=f′·2+f′·ycosx,而有