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1.1.2空间向量的数量积运算
重点:掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算规律及计算方法;
难点:能用向量的数量积解决夹角与距离问题。
一、空间向量的夹角
1、定义:已知两个非零向量、,在空间任取一点D,作,,则∠AOB叫做向量与的夹角,记作,如下图。
根据空间两个向量数量积的定义:.
那么空间两个向量、的夹角的余弦.
2、夹角的范围:
3、求两个向量的夹角有两种方法:
方法一:(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围角的大小;(2)先求,再利用公式求,最后确定.
方法二:①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小
二、空间向量的数量积
1、定义:已知两个非零向量、,则叫做向量与的数量积,记作,
即.
2、数量积的运算规律:
(1);(2)(交换律)(3)(分配律)
3、空间向量数量积的性质
设,是非零向量,是单位向量,则
①;②;
③或;④;⑤
三、求空间向量数量积的步骤
1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式,
2、利用向量的运算规律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积,
3、代入求解.
四、利用空间向量求模长
在空间两个向量的数量积中,特别地,
所以向量的模:。
将其推广:
五、向量的投影
1、向量在向量上的投影向量
如图=1\*GB3①,在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的投影向量。类似的,可以将向量向直线投影(如图=2\*GB3②)。
2、向量在平面上的投影
如图=3\*GB3③,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量。这时,向量,的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。
题型一求空间向量的数量积
【例1】(2023秋·广东揭阳·高二统考期末)在空间四边形中,等于()
A.B.0C.1D.不确定
【变式1-1】(2023秋·福建福州·高二铜盘中学校考期末)如图所示,平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为,求的值是()
A.B.1C.D.
【变式1-2】(2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中)如图,在平行六面体中,E,F分别为棱,CD的中点,记,,,满足,,,.
(1)用,,表示;
(2)计算.
【变式1-3】(2022秋·江西·高二校联考阶段练习)如图,球为长方体内能放入的体积最大的球,是球的一条直径,为该长方体表面上的动点,且,则的最大值为________.
题型二利用数量积求角度
【例2】(2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习)已知不共面的三个向量都是单位向量,且夹角都是,则向量和的夹角为()
A.B.C.D.
【变式2-1】(2022秋·山东临沂·高二校考期末)如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为()
A.B.C.D.
【变式2-2】(2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中)如图,在平行六面体中,,,,,,则与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【变式2-3】(2023秋·广东阳江·高二统考期末)(多选)如图,平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长均为,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是()
A.
B.
C.向量与的夹角是.
D.异面直线与所成的角的余弦值为.
【变式2-4】(2020·高二课时练习)已知空间向量,则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________.
题型三利用数量积求距离
【例3】(2023秋·高二课时练习)已知,均为空间单位向量,它们的夹角为60°,那么等于()
A.B.C.D.4
【变式3-1】(2023春·高二课时练习)平行六面体中,,,则的长为()
A.10B.C.D.
【变式3-2】(2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知正四面体的棱长为,若、分别是、的中点,则线段的长为()
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