1.1.2 空间向量的数量积运算 精练（解析版）_1.docx

1.1.2空间向量的数量积运算

【题型1求空间向量的数量积】

1、（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求

（1）；

（2）．

【答案】（1）11；（2）

【解析】（1）向量，向量与的夹角都是，且，

，

；

（2）

2、（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．

【答案】/-0.5

【解析】根据题意ABCD为正四面体，

，，两两成角，,

由，

，

所以

．

故答案为：

3、（2023春·高二课时练习）如图,在直三棱柱(即平面),,,求

【答案】1

【解析】∵平面，.

又，∴E为BC的中点，．

又

.

4、（2023春·贵州遵义·高二校考阶段练习）如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（）

A．B．C．1D．2

【答案】D

【解析】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，

所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，

所以，且，

因为，

所以.故选：D

5、（2020秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）若、、为空间中两两夹角为的单位向量，，，则______.

【答案】

【解析】由题意得，，

则.

故答案为：.

【题型2利用数量积求角度】

1、（2022秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知空间向量、、满足，，，，则与的夹角为_________．

【答案】/60°

【解析】因为，所以，

所以，

因为，，，

所以，所以，

因为，所以，

故答案为：

2、（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为与垂直，所以，

即，

所以.

又，所以.故选：D.

3、（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________.

【答案】

【解析】记，

因为，所以.

又因为，所以.

易得，

所以

所以，

又.

故答案为：

4、（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.

【答案】.

【解析】记，，，则，，

，

，，

，，

，，

又，

，

即与夹角的余弦值为.

5、（2023春·高二课时练习）已知正三棱锥P-ABC的所有棱长均为，点E，F分别为PA，BC的中点，点N在EF上，且EN=3NF，设．

（1）用向量表示向量；

（2）求PN与EB夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由EN=3NF可得,由F为BC的中点可得

,

所以

（2），

两两夹角为，模长均为，所以，

所以

，

，

，

设求PN与EB夹角为，则

6、（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.

【答案】

【解析】正三棱锥中，设,且侧棱长相等，

因为，

所以，又，

所以，

即，解得，即的余弦值为.

故答案为：

【题型3利用数量积求距离】

1、（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）

A．B．133C．D．61

【答案】A

【解析】因为，，，

所以

故选：A．

2、（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（）

A．1B．C．D．

【答案】C

【解析】过和分别作，，

在矩形，，

，

，

则，即，

平面与平面所成角的余弦值为，

,，

，

，

则，即与之间距离为，故选：C．

3、（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.

【答案】

【解析】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，

则

，

又，，，

则，，

因此，

.

故答案为：.

4、（2023秋·湖北·高二统考期末）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____.

【答案】

【解析】设，，为基底，，

则，

所以

，故.

故答案为：

5、（2023春·高二课时练习）在四面体中，，，的长度分别为1，2，3，且，M，N分别为，中点，则的长度为______.

【答案】

【解析】根据题意画出几何体如下图所示，

则

又因为，，的长度分别为1