1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（原卷版）_1.docx

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

TOC\o1-3\h\u题型1空间向量的坐标表示 4

题型2空间向量的坐标运算 5

◆类型1加减数乘与数量积 5

◆类型2空间向量模长问题 6

◆类型3空间向量夹角问题 7

◆类型4投影向量问题 8

题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 9

◆类型1空间向量平行问题 9

◆类型2空间向量垂直问题 10

◆类型3锐角钝角问题 11

题型4含参取值（范围）最值问题 11

知识点一.正交基底和单位正交基底

正交基底

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底

单位正交基底

当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示

推论:

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得OP=xOA+yOB+

知识点二.空间直角坐标系

1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。

其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

知识点三.空间直角坐标系中点的坐标

定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。

在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.

知识点四.空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标运算

（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则

①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）

②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）

③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).

=4\*GB3④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；

=5\*GB3⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；

=6\*GB3⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；

=7\*GB3⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．

(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的

坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

2.空间向量平行、垂直的坐标表示

（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).

(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．

3.空间向量坐标的应用

(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．

(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2)．

题型1空间向量的坐标表示

【例题1】（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点A4,1,3、B2,-5,1、C-

【变式1-1】1．（2023秋·高二课时练习）三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB=BC=PB=1，M为PC的中点，N

【变式1-1】2．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点O(0,0,0),A(1,2,1),B(1,-1,0