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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
【题型1求点到直线的距离】
1、(2023秋·河南新乡·高二统考期末)已知空间三点,则点到直线的距离为.
【答案】
【解析】易知,
则,,
故点到直线的距离为.故答案为:.
2、(2023·江苏·高二专题练习)已知点,若点和点在直线上,则点到直线的距离为.
【答案】/
【解析】由题意知,点,,,
可得,则,
所以,可得,
所以点到直线的距离为.故答案为:.
3、(2022秋·高二课时练习)已知直线l的一个方向向量为,若点为直线l外一点,为直线l上一点,则点P到直线l的距离为.
【答案】
【解析】∵,,
∴,又,
∴,
∴,又,
∴点P到直线l的距离为.,故答案为:.
4、(2023秋·云南昆明·高二统考期末)已知直线过点,且直线的方向向量为,则点到的距离为.
【答案】
【解析】由题知,直线过点,且直线的方向向量为,点,
所以,
所以点到的距离为
,故答案为:
5、(2022秋·高二课时练习)如图,在四棱锥中,,底面ABCD为菱形,边长为2,,,且,异面直线PB与CD所成的角为.
??
(1)求证:平面ABCD;
(2)若E是线段OC的中点,求点E到直线BP的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)因为四边形为菱形,所以,
因为,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,为中点,所以,
又因为平面,
所以平面.
(2)以为原点,方向为轴方向,建系如图,
因为,所以为异面直线所成的角,
所以,在菱形中,,
因为,所以,
设,则,
在中,由余弦定理得
,
所以,解得,
所以,
,
所以,
所以点E到直线BP的距离为.
【题型2求点到平面的距离】
1、(2022秋·辽宁大连·高二庄河高中校考阶段练习)已知平面的一个法向量,点在内,则平面外一点到平面的距离为()
A.4B.2C.D.3
【答案】B
【解析】因为,,所以,
又是平面的一个法向量,
所以到的距离为.故选:B.
2、(2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习)如图所示,在棱长为的正方体中,,分别为棱,的中点,为棱上的一点,且,则点到平面的距离为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则
所以,,,
设平面的法向量为,
则
令,则,,所以平面的一个法向量.
点到平面的距离为.故选:D.
3、(2022秋·河南周口·高二校考阶段练习)如图,已知四棱锥的底面是边长为4的菱形,且,底面,若点到平面的距离为,则()
A.B.C.1D.2
【答案】D
【解析】设为中点,因为底面是边长为4的菱形,且,
所以,而,所以;
以为坐标原点,以,的方向分别为x,z轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系,设,
则,,.
设是平面的法向量,
因为,,
则,令,得.
设点到平面的距离为,.因为,
所以,得.故选:D.
4、(2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习)如图,已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱,是侧棱的中点.则点到平面的距离为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】取的中点,连接,
因为为等边三角形,为的中点,则,
以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
设平面的法向量为,
,,
由,取,可得,
,
所以,点到平面的距离为.故选:A.
5、(2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习)如图,正方体的棱长为2,点为的中点.
(1)求点到平面的距离为;
(2)求到平面的距离.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)以为原点,所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系,
则,
所以,
设平面的一个法向量为,
则,
令,
所以平面所的法向量为,又
所以点到平面的距离.
(2)由(1)可得平面的法向量为,
∵,∴,
,,
∴平面,
所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离,
由,所以到平面的距离为.
【题型3求异面直线所成角】
1、(2023秋·贵州铜仁·高二统考期末)已知正四棱柱中,,,点,分别是和的中点,是线段的中点,则直线和所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,,
则,
所以异面直线和所成角的余弦值为.故选:D.
2、(2023春·湖北武汉
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