人教版数学九年级上册二次函数与几何图形综合.pptxVIP

专题四二次函数与几何图形综合

1.如图所示，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且

A(-1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

解：(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x²+bx-3上，∴b=-2.

∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3.

∵抛物线y=x²-2x-3=(x-1)²-4,

∴顶点D的坐标为(1,-4).

类型一二次函数与三角形结合

(2)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标.

解：(2)对于y=x²-2x-3,当x=0时，y=-3,∴点C的坐标为(0,-3),当y=0时，x²-2x-3=0,解得x₁=-1,x₂=3.∴B点的坐标为(3,0),由抛物线的性质，可知点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

∴对称轴为直线x=1,如图所示，连接BC交抛物线的对称轴于点M,此时

AM+CM=BC为最小值，故此时△ACM的周长最小，

设直线BC的解析式为y=mx+n,

则解得

∴直线BC的解析式为y=x-3.

当x=1时，y=-2,故点M的坐标为(1,-2).

A(-1,0),B(3,0)和C(0,3),连接BC,点P是直线BC上方的一个动点(且不

与B,C重合).

(1)求抛物线的解析式；

解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).

把C(0,3)代入，得3=a×1×(-3),

解得a=-1.

2.(昆明五华区月考)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过

∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x²+2x+3.

(2)求△PBC面积的最大值.

解：(2)∵B(3,0)和C(0,3),

∴直线BC的解析式为y=-x+3.

作PD⊥x轴，交BC于D,如图所示.设P(x,-x²+2x+3),则D(x,-x+3),∴PD=(-x²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x.

∴△PBC面积的最大值是。

类型二二次函数与四边形结合

3.(2023广安节选)如图所示，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0),对称轴是直线x=-1,点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的解析式；

解：(1)∵抛物线对称轴是直线x=-1,点B的坐标为(1,0),

∴点A的坐标为(-3,0).

∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x²+2x-3.

∴C(0,-3).∴0C=3.

.S四边形ABCN=S△AON+S△Boc+S△cON

∴当时，S四边形ACN取最大

∴四边形ABCN面积的最大值是

(2)若点P在线段A0上运动(点P与点A、点0不重合),求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

解：(2)连接ON,如图所示.

设P(m,O),则N(m,m²+2m-3),在y=x²+2x-3中，令x=0得y=-3,

此时

此时点P的坐标为

行线交x轴于点F.

(1)求抛物线的解析式；

解：(1)设抛物线的解析式为

A(1,0),B(-3,0),C(0,-3)代入y=ax²+bx+c,

得,解得

∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3.

4.如图所示，已知抛物线经过点A(1,0),B(-3,0),与y轴交于点

C(0,-3),抛物线的顶点为D,连接BD,点P在线段BD上，过点P作y轴的平

将

解：(2)如图所示，设点M的坐标为(n,0),则点G的坐标为(n,n²+2n-3),

点N的坐标为(-2,n²+2n-3),点F的坐标为(-2,0),

∴FN=|n²+2n-3|,FM=|n+2|.

∵以F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形，

∴FN=FM,即|n²+2n-3|=|n+2|,

解得●

∴点M的坐标为,0),,0),,0)或,0).

(2)若点P的坐标为(-2,-2),点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以F,N,G,M四点为顶点的四边形为正方形时，求出满足条件的点M的坐标.

事

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