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专题12二次函数综合题(解答题24题,压轴题)
一、解答题
1.(2024·上海长宁·统考一模)已知抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),
与轴交于点,直线经过点与点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点在线段下方的抛物线上,过点作的平行线交线段于点,交轴于点.
①如果两点关于抛物线的对称轴对称,联结,当时,求的正切值;
②如果,求点的坐标.
【答案】(1)
(2)①②
【分析】(1)先由一次函数求出,再运用待定系数法求二次函数解析式,即可作答.
(2)①依题意,得,,根据角的等量代换,即,先求
出点B的坐标.的正切值等于;
②先表达出,,,,
再根据相似三角形的性质与判定,列式化简计算,即可作答.
【详解】(1)解:∵直线经过点与点
则当;
∴
∴
解得
;
(2)解:①如图:
∵,且两点关于抛物线的对称轴对称,
∴,
则
∵
∴轴
则
∵过点作的平行线交线段于点,交轴于点.
∴
则
∵轴交于两点(点在点的左侧),
∴
∴,
∴
∵
则的正切值等于;
②设,的解析式为
∴把代入
得
解得
∵过点作的平行线交线段于点,交轴于点
∴设的解析式为
把代入
得
∴
令,
即
当
解得
则把代入
得
∴
∵过点作轴,过点作轴,
∴
∴
∵
∴
∵,,
∴,
∴
解得
∵点在线段下方的抛物线上,
∴(舍去)
∴.
把代入
∴
∴点的坐标
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,勾股定理等,综合
性强,难度较大,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
2.(2024·上海普陀·统考一模)综合实践
九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义
对于下图中的三个四边形,通常可以说,缩小四边形,得到四边形
;放大四边形,得到四边形.
如图,对于两个多边形,
如果它们的对应顶点的连
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