第03讲 圆的方程(精讲）（原卷版）_1.docx

第03讲圆的方程

目录

TOC\o1-2\h\u第一部分：知识点必背 2

知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离 3

第二部分：高考真题回归 3

第三部分：高频考点一遍过 4

高频考点一：圆的标准方程 4

高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5

高频考点三：圆的一般方程 6

高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化 6

高频考点五：点与圆的位置关系 7

高频考点六：与圆有关的轨迹问题 7

高频考点七：与圆有关的几何意义求最值 8

高频考点八：利用圆的对称性求最值 9

高频考点九：建立函数关系求与圆有关的最值问题 10

第四部分：数学文化题 11

第一部分：知识点必背

知识点一：圆的定义和圆的方程

1、圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：

2、圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

3、圆的一般式方程

对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.

①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；

②当时，方程表示一个点

③当时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.

知识点二：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

第二部分：高考真题回归

1．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（????）

A． B． C．1 D．

2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．

3．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：圆的标准方程

典型例题

例题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（????）

A．

B．

C．

D．

例题2．（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是.

例题3．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：

(1)经过点和，圆心在轴上；

(2)经过直线与的交点，圆心为点；

(3)经过，两点，且圆心在直线上；

练透核心考点

1．（2023春·广东茂名·高二统考期末）圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为.

2．（2023·全国·高三专题练习）若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程．

3．（2023春·江西宜春·高二上高中学校考期末）已知圆过点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程．

高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系

典型例题

例题1．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（????）

A．若，则是圆

B．若，，则是圆

C．若，，则是直线

D．若，，则是直线

例题2．（2023·全国·高三专题练习）“方程表示的图形是圆”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例题3．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是．

练透核心考点

1．（2023·上海·高二专题练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（????）

A． B． C． D．

3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是．

高频考点三：圆的一般方程

典型例题

例题1．（2023秋·高二课时练习）求经过三点，，的圆的方程．

例题2．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为．

练透核心考点

1．（2023·天津·统考二模）经过点的圆的方程为.

2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是.

高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化

典型例题

例题1