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第04讲空间直线、平面的垂直
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1.(2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习)如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是(????)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2023·全国·高一专题练习)如图,在四棱锥中,底面为矩形,是等边三角形,平面底面,,四棱锥的体积为,为的中点.线段的长是(????)
A. B. C. D.
3.(2023·全国·高一专题练习)在长方体中,,,点在棱上,若直线与平面所成的角为,则(????)
A.1 B. C. D.
4.(2023·全国·高一专题练习)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(????)
A.平面ABCD B.平面PBC
C.平面PAD D.平面PCD
5.(2023·重庆·高二统考学业考试)如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积是(???)
??
A.6 B.9 C.18
6.(2023·全国·高一专题练习)在矩形ABCD中,,,若平面ABCD,且,则点A到平面PBD的距离为(????)
A. B. C. D.
7.(2023春·广东茂名·高三统考阶段练习)如图,在正三棱柱中,底面边长为6,侧棱长为8,D是侧面的两条对角线的交点,则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(????)
??
A. B. C. D.
8.(2023·北京·高三专题练习)已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直,且,P是对角线CE的中点,Q是对角线BD上一个动点,则P,Q两点之间距离的最小值为(????)
A.1 B. C. D.
二、多选题
9.(2023·全国·高一专题练习)如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=1,P为线段B1C1上的动点,则下列结论中正确的是(????)
A.点A到平面A1BC的距离为 B.平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P
C.三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D.二面角A1-BC-A的大小为
三、填空题
10.(2023春·浙江·高一校联考阶段练习)在三棱锥中,平面,则三棱锥的表面积为__________.
11.(2023·全国·高三对口高考)如图所示,在斜三棱柱中,,则在面上的射影H必在__________.
①直线上?????②直线上?????③直线上?????④内部
??
四、解答题
12.(2023春·高一课时练习)如图,四棱锥的底面ABCD是菱形,,,F是PB的中点,连接AC,BD,且AC与BD交于点E,连接EF.
??
(1)求证:平面PCD;
(2)求证:平面平面PAC.
13.(2023·陕西咸阳·统考三模)如图,三棱柱的侧面是边长为1的正方形,侧面侧面,,,G是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若P为线段BC的中点,求三棱锥的体积.
B能力提升
1.(2023春·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中)已知正方形的边长为,现将△沿对角线翻折,得到三棱锥.记的中点分别为,则下列结论错误的是(????)
??
A.与平面所成角的范围是
B.三棱锥体积的最大值为
C.与所成角的范围是
D.三棱锥的外接球的表面积为定值
2.(2023春·河北石家庄·高一校考期中)如图一,矩形中,,交对角线于点,交于点.现将沿翻折至的位置,如图二,点为棱的中点,则下列判断一定成立的是(???)
??
A. B.平面
C.平面 D.平面平面
3.(2023春·高一课时练习)已知点P在正方体的侧面及边界上运动,并保持,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是(????)
A. B. C. D.
4.(2023春·全国·高一专题练习)在古代数学中,把正四棱台叫做方亭,数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了方亭的体积公式,为方亭的下底面边长,为上底面边长,为高.某地计划在一片平原地带挖一条笔直的沟渠,渠的横截面为等腰梯形,上底为米,下底为米,深米,长为米,并把挖出的土堆成一个方亭,设计方亭的下底面边长为米,高为米,则其侧面与下底面所成的二面角的正切值为________.
5.(2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考期中)如图1,在平行四边形ABCD中,,将沿BD折起,使得点A到达点P,如图2.
??
(1)证明:平面平面PAD;
(2)当二面角的平面角的正切值为时,求直线BD与平面PBC夹角的正弦值.
C综合素养
1.(多选)(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)如图,正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为,.若将正三棱锥绕旋转,使得点E,P分别旋转至点A,处,且A,B,C,D四点共
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