【K12学习】五年级全套(上下册)名校奥数教程教案及试题(含答案).pdf

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五年级全套(上下册)名校奥数教程教案及

试题(含答案)

文

第一讲数的整除问题

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数

学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数

a除以整除b，除得的商c正好是整数而没有余数，我们就

说，a能被b整除。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，，

记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就

叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3

是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2.数的

整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也

能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜。例如：

如果2｜10，2｜6，那么2｜，并且2｜。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整

除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

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性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b

与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且=1，那么

bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且=1,那么｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

文

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。3.数的整除

特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8

的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是

偶数的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，

其个位数字只能是偶数.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3整除的数的特征：各个数位数字之和能被3整

除。④能被4整除的数的特征：末两位数能被4整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800

是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但

因为2564，所以1864不能被25整除.

⑤能被8整除的数的特征：末三位数能被8整除。例

如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所

以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375

能被125整除.但因为8375，所以829375。

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⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数

字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，

偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，

又因为115，所以11123456789。再例如：判断13574是

否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差

是：-＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574

是11的倍数。⑦能被