第05讲 数列章节总结 (高频精讲）（解析版）_1.docx

第05讲数列章节总结

目录

TOC\o1-2\h\u题型一：数列求通项 2

角度1：数列前项和法 2

角度2：数列前项和法 4

角度3：累加法 6

角度4：累乘法 7

角度5：构造法 9

角度6：倒数法 11

角度7：递推关系求通项 12

角度8：隔项等差(等比）数列 13

题型二：数列求和 16

角度1：倒序相加法 16

角度2：分组求和法 16

角度3：裂项相消法 17

角度4：错位相减法 21

角度5：奇偶项讨论求和 25

角度6：插入新数列混合求和 27

题型一：数列求通项

角度1：数列前项和法

1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列满足，则的通项公式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】当时，有，所以，

当时，由，，

两式相减得，

此时，，也满足，

所以的通项公式为.

故选：B.

2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）因为，

当时，，

则时，，

两式相减得，

即，，，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

，

3．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）由，得，

因为，所以，

所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，

所以，当时，，

当时，也满足上式，

所以数列的通项公式为．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，求数列的通项公式.

【答案】

【详解】解：因为，①

当时，．②

①②得，所以．

当时，，也满足上式，

所以对任意的，．

5．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知正项数列满足，前项和满足.

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）由可得，

即，

因为，所以，则，

，

所以，

又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

，

当时，，

当时，，

所以；

6．（2023春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）正项数列的前和为，且．

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）正项数列，当时，由，解得，

由，所以，

所以，即，

，

数列是正项数列，所以，

所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列，

所以.

角度2：数列前项和法

1．（2023·福建南平·统考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．

(1)求的通项公式；

【答案】(1)；

【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，

即，当时，有，两式相除得，，

显然，即，因此当时，，即，

所以数列的通项公式.

2．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.

(1)求的通项公式；

【答案】(1)，

【详解】（1）是等差数列，，

即：，又，

，

.

又，

当时，，符合上式，

.

3．（2023春·江西·高二校联考期中）已知正项数列的前项积为，.

(1)证明：数列为等差数列.

【答案】(1)证明见解析

【详解】（1）证明：当时，，即.

当时，，得（舍去），

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）由题意知为正项数列的前项的乘积，且，

当时，，所以，解得；

又①，②，

②÷①得，，即，

所以，即，所以，

所以，

结合，可知数列是常数列，

所以，所以，所以.

角度3：累加法

1．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】因为，所以，

则当，时，，

将个式子相加可得，

因为，则，

当时，符合上式，

所以，，，

故选：D.

2．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）数列满足，，则___________．

【答案】

【详解】因为，

所以，

，

，

，

，

累加得：

故答案为：.

3．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）因为，所以，所以，

又，所以，

又当时也适合上式，

所以．

角度4：累乘法

1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，．

(1)求数列的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）解：因为，，

所以，

所以

当时，满足条件，

所以；

（2）因为，

所以，

所以，

所以.

2．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前项和.已知，.

(1)求的通项公式；

【答案】(1)

【详解】（1）因为