第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(分层精练）（解析版）_1.docx

第07讲向量法求距离、探索性及折叠问题

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（????）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【详解】依题意，平面的法向量为，

所以点到平面的距离.

故选：C

2．（2023·江苏·高二专题练习）已知，，，则点A到直线BC的距离为（????）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为.

故选：B

3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】取AC的中点O，取中点D，连接OD，则平面ABC，

连接OB，因为是等边三角形，

所以，

因为平面ABC，

所以OB，AC，OD两两垂直，

所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，

因为，所以，，

故，

，

点到直线的距离为.

故选：D

4．（2023秋·高二课时练习）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由正方体的性质：∥,∥，

，，

且平面，平面，

平面，平面，

所以平面平面，

则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．

以为坐标原点，所在的直线分别为轴

建立空间直角坐标系，如图所示：

由正方体的棱长为1，所以，，，

，，

所以，，

，．

连接，

由，，

所以，

且，

可知平面，

得平面的一个法向量为，

则两平面间的距离：

．

故选：D.

5．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线的方程为，则直线到平面的距离为（????）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【详解】由题可知点在直线上，取平面内一点,

根据题设材料可知平面一个法向量为，

,

所以，

所以直线到平面的距离为，

故选:C.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

所以，

则，

，

若是面一个法向量，

则，

可得，

若是面一个法向量，

则，

可得，

由面面，

所以有，

解得，

故选：C.

7．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）某校计划举办冬季运动会，并在全校师生中征集此次运动会的会徽，某学生设计的《冬日雪花》脱颖而出．它的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，已知其中一块矩形材料如图①所示，将△BCD沿BD折叠，折叠后BC交AD于点E，，．现需要对会徽的六个直角三角形（图②黑色部分）上色，则上色部分的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设，

∵，则，

在中，由余弦定理可得，．解得，

在中，，所以，，

∴

所以上色部分面积为．

故选：A.

8．（2023·全国·高三专题练习）如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】取的中点，连接、，

因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，，

所以，二面角的平面角为，且，

设、分别为、的外心，

过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，

易知，同理可得，

，，，平面，

平面，，同理可得，

所以，四边形是边长为的正方形，

由正弦定理可得，，

因此，四面体的外接球的表面积为.

故选：D.

二、多选题

9．（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（????）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】BC

【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

所以，，

设为平面的法向量，

则有：，令，可得，

则点到平面的距离为，

因为，所以，所以.

故选：BC

10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，从一个半径为（单位：）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则以下说法正确的是（????）

A．四棱锥的体积是

B．四棱锥的外接球的表面积是

C．异面直线与所成角的大小为

D．二面角所成角的余弦值为

【答案】