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第08讲拓展一:空间几何体内接球与外接球问题
目录
TOC\o1-3\h\u第一部分:知识点必背 1
第二部分:高考真题回归 4
第三部分:高频考点一遍过 4
高频考点一:内切球 4
角度1:等体积法 4
角度2:独立轴截面法 5
高频考点二:长方体、正方体外接球问题 6
高频考点三:补形法 7
角度1:墙角型 7
角度2:对棱相等型 8
高频考点四:单面定球心法 9
角度1:底面是等边三角形 9
角度2:底面是直角三角型 10
角度3:底面是普通三角型 10
高频考点五:双面定球心 12
第一部分:知识点必背
1、球的内切问题(等体积法)
例如:在四棱锥中,内切球为球,求球半径.方法如下:
即:,可求出.
2、内切球独立截面法
如图,在三棱锥中,是其内切球球心,求其内切球的半径
①在例题图形中,画出过经过球心和切点的大圆的截面图,如图中
②在独立截面中,找到和球半径相关的直角三角形,如图中和
③利用相似性求出内切球半径.
3、正方体、长方体外接球
①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半;
设长方体一个顶点出发的三条边长分别为,,,则外接球半径;
②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半;
设正方体边长为,则外接球半径;
4、墙角型,对棱相等型——补形法(补长方体或正方体)
①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.
②若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.
③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长,如图3所示.
④若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示
5、单面定球心法(定+算)
步骤:①定一个面外接圆圆心:选中一个面如图:在三棱锥中,选中底面,确定其外接圆圆心(正三角形外心就是中心,直角三角形外心在斜边中点上,普通三角形用正弦定理定外心);
②过外心做(找)底面的垂线,如图中面,则球心一定在直线(注意不一定在线段上)上;
③计算求半径:在直线上任取一点如图:则,利用公式可计算出球半径.
6、双面定球心法(两次单面定球心)
如图:在三棱锥中:
①选定底面,定外接圆圆心
②选定面,定外接圆圆心
③分别过做面的垂线,和做面的垂线,两垂线交点即为外接球球心.
第二部分:高考真题回归
1.(2022·全国(新高考Ⅱ卷)·统考高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(????)
A. B. C. D.
2.(2022·全国(乙卷文理)·统考高考真题)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(????)
A. B. C. D.
3.(2022·全国(新高考Ⅰ卷)·统考高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是(????)
A. B. C. D.
4.(2023·全国(乙卷文)·统考高考真题)已知点均在半径为2的球面上,是边长为3的等边三角形,平面,则________.
5.(2023·全国(甲卷理)·统考高考真题)在正方体中,E,F分别为AB,的中点,以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点.
6.(2023·全国(甲卷文)·统考高考真题)在正方体中,为的中点,若该正方体的棱与球的球面有公共点,则球的半径的取值范围是________.
第三部分:高频考点一遍过
高频考点一:内切球
角度1:等体积法
典型例题
例题1.(河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题)正四棱锥中,底面边长,侧棱,在该四棱锥的内部有一个小球,则小球表面积的最大值为(????)
A. B. C. D.
例题2.(2023春·山东菏泽·高一统考期中)已知正三棱锥中,,,,则正三棱锥内切球的半径为(????)
B. C. D.
角度2:独立轴截面法
典型例题
例题1.(2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测)已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为;上、下底面的面积之比为,则球的表面积为(????).
A. B. C. D.
例题2.(2023春·江苏·高一专题练习)在炎热的夏天里,人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯,它的轴截面是正三角形,容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后,冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心(水没有溢出),则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是(????)
A.1 B. C. D.
例题3.(2023·全国·高三专题练习)
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