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第09讲高考难点突破一:圆锥曲线的综合问题(定点问题)
目录
TOC\o1-1\h\u高频考点一:角度1:椭圆中的直线过定点问题 1
高频考点二:椭圆中存在定点满足某条件问题 4
高频考点三:双曲线中的直线过定点问题 7
高频考点四:双曲线存在定点满足某条件问题 10
高频考点五:抛物线中的直线过定点问题 13
高频考点六:抛物线存在定点满足某条件问题 15
高频考点一:角度1:椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题1.(2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末)已知椭圆C:的离心率是,点在上.
(1)求的方程;
(2)直线l:交于,两点(不同于点),直线,与轴的交点分别为,,线段的中点为,证明:直线过定点,并求出定点坐标.
例题2.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知点,在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两个不同的点(异于),过作轴的垂线分别交直线于点,当是中点时,证明.直线过定点.
例题3.(2023·全国·高三对口高考)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于、两点,是点关于轴的对称点.试问:直线是否恒过一定点?并说明理由.
同类题型归类练
1.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知动圆经过点,并且与圆相切.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)动直线过点,且与轨迹分别交于,两点,点与点关于轴对称(点与点不重合),求证:直线恒过定点.
??
2.(2023春·西藏日喀则·高二统考期末)已知椭圆过点,长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距;
(2)直线与椭圆交于不同的两点,直线分别与直线交于点,为坐标原点且,求证:直线过定点,并求出定点坐标.
3.(2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中)已知椭圆的离心率为,上顶点的坐标为,
(1)求椭圆C的方程.
(2)若椭圆C下顶点是B,M是C上一点(不与A,B重合),直线AM与直线交于点P,直线BP交椭圆C于点N.求证:直线MN过定点.
高频考点二:椭圆中存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1.(2023春·山东青岛·高二统考期中)中国结是一种手工编制工艺品,因其外观对称精致,符合中国传统装饰的审美观念,广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线,却可以还原成单纯的二维线条,其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面上,我们把与定点,距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线,,为该曲线的两个焦点.数学家雅各布?伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线的焦点,的坐标;
(2)试判断曲线上是否存在两个不同的点,(异于坐标原点),使得以为直径的圆过坐标原点.如果存在,求出,坐标;如果不存在,请说明理由.
例题2.(2023春·湖南·高二校联考期中)已知椭圆:的焦距为,,分别为的左,右焦点,过的直线与椭圆交于,两点,的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于,两点,试问:在轴上是否存在一个定点,使得.若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
例题3.(2023秋·北京丰台·高二统考期末)已知椭圆过点,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于,两点.
(i)若点坐标为,直线,分别与轴交于,两点.求证:;
(ii)若点坐标为,直线的方程为,椭圆上存在定点,使直线,分别与直线交于,两点,且.请直接写出点的坐标,结论不需证明.
同类题型归类练
1.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知为坐标原点,,,和交点为.
(1)求点的轨迹;
(2)直线和曲线交与两点,试判断是否存在定点使?如果存在,求出点坐标,不存在请说明理由.
2.(2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模)如图,双曲线的中心在原点,焦点到渐近线的距离为,左、右顶点分别为.曲线是以双曲线的实轴为长轴,虚轴为短轴,且离心率为的椭圆,设在第一象限且在双曲线上,直线交椭圆于点,直线与椭圆交于另一点.
??
(1)求椭圆及双曲线的标准方程;
(2)设与轴交于点,是否存在点使得(其中为点的横坐标),若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
3.(2023·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆的左右焦点分别为,分别为椭圆的上,下顶点,到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于不同的两点,直线分别交x轴于两点.问:y轴上是否存在点R,使得?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
高频考点三:双曲线中的直线过定点问题
典型例题
例题1.(2023秋·福建宁德·高二统考期末)双曲线,恰好过中的三点.
(1)求双曲线的方程;
(2)记双曲线
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